Об управляемости линейных уравнений соболевского типа с относительно секториальным оператором

Abstract

В работе исследуется вопрос ε-управляемости линейных дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной по времени L x (t) = Mx(t) + Bu(t), 0 < t < T. Предполагается, что ker L = {0}, а оператор M сильно (L,p)-секториален. Данные условия гарантируют существование аналитической в секторе разрешающей полугруппы однородного уравнения L x (t) = Mx(t). С помощью теории вырожденных полугрупп операторов с ядрами исходное уравнение редуцировано к системе двух уравнений: регулярного, т.е. разрешенного относительно производной (на образе разрешающей полугруппы однородного уравнения) и сингулярного (на ядре полугруппы) с нильпотентным оператором при производной. Используя результаты об ε-управляемости регулярного и сингулярного уравнений, получен критерий ε-управляемости исходного уравнения соболевского типа с относительно p-секториальным оператором в терминах операторов, входящих в уравнение. Абстрактные результаты использованы при исследовании ε-управляемости конкретной начально-краевой задачи, которая является линеаризацией в нуле системы уравнений фазового поля, описывающих в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода. ε-controllability of linear first order differential equations not resolved with respect to the time derivative L x (t) = Mx(t) + Bu(t), 0 < t < T are studied. It is assumed that ker L = {0} and the operator M is strongly (L,p)-sectorial. These conditions guarantee the existence of an analytic semigroup in the sector of the resolution of the homogeneous equation Lx(t) = Mx(t). Using the theory of degenerate semigroups of operators with kernels the original equation is reduced to a system of two equations: regular, i.e. solved for the derivative (on the image of the semigroup of the homogeneous equation) and the singular (on the kernel of the semigroup) with a nilpotent operator at the derivative. Using the results of ε-controllability of the regular and singular equations, necessary and sufficient conditions of ε-controllability of the original equation of Sobolev type with respect to psectorial operator in terms of the operators are obtained. Abstract results are applied to the study of ε-controllability of a particular boundary-value problem, which is the linearization at zero phase-field equations describing the theory in the framework of mesoscopic phase transition.