О дискретизации линейных дифференциальных уравнений

Abstract

Рассмотрены некоторые вопросы получения дискретного описания дифференциальной системы (ДС) на равномерной сетке. Рассматриваются ДС в виде системы n линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами или одно уравнение n-го порядка для наблюдаемого функционала состояния ДС. Изучаемые вопросы дискретизации важны для задач вариационной идентификации и аппроксимации динамических процессов моделями этого типа в конечном интервале. Дано сравнение аналитического равномерного (на основе теоремы Гамильтона–Кэли) и локальных методов дискретизации: на основе разделенных разностей и с помощью интерполяции выборок из n + 1 отсчетов многочленами Тейлора степени n. Получена общая формула локальной дискретизации, прозволяющая сравнивать ее разностный и интерполяционные методы. Показано с использованием свойств обратных матриц Вандермонда, что в полученной общей формуле локальной дискретизации ее интерполяционному методу соответствуют (n+1)–матрицы Тейлора (из коэффициентов многочленов Тейлора), а разностному (n+1)–матрицы Паскаля .(из чисел треугольников Паскаля). Показано, что невырожденность матрицы наблюдаемости ДС на сетке есть необ- ходимое и достаточное условие как для аналитической дискретизируемости, так и для приведения дискретной системы (описания ДС сетке) к каноническому фробениусовскому виду. Он эквивалентен одному обыкновенному разностному уравнению для наблюдаемой переменной с постоянными коэффициентами. Это уравнение есть основа известного вариационного метода идентификации. Показано, что интерполяционный метод локальной дискретизации есть первое (линейное) приближение формулы равномерной аналитической дискретизации. Показано, что нулевое приближение ее не зависит от коэфффициентов ДС и есть вектор коэффициентов n-й разности. Показано также, что нулевое приближение матрицы наблюдаемости ДС н и матрицы наблюдамости полиномиальной системы y (n) = 0 на сетке есть n–матрица Тейлора. Some problems of obtaining the discrete description of the first order differential system (DS) on the uniform lattice have been considered. These DS are regarded in the form of system n of the first order ordinary linear differential equations with constant coefficients or as one n-order equation for the observed functional of the DS state. The problems under consideration are of some importance for the problems of the variational identification and approximation of the dynamic processes by means of that type models on the finite interval. There are compared the analytic uniform method of discretization (based on Cayley – Hamilton theorem) and that of the local one on the basis of the interpolation of the samples of n+1 counting by Taylor polynomials to the power n. There have been obtained the general formula of the local discretization that makes it possible to compare its difference and interpolarization methods. It has been shown by using Vandermond inverse matrices that in the obtained general formula of the local discretization n+1 Taylor matrices (from Taylor polynomial coefficients) correspond to its interpolational method while n+1 Pascamatrices (from Pascal triangle numbers) correspond to the difference method. It has been shown that matrix nondegeneracy of the DS observability on the lattice is a necessary and sufficient condition both for analytic discretizability and for reducing the discete system (of the DS description of the lattice) to Frobenius canonical form. It is equivalent to one ordinary difference equation for the observed variable with constant coefficients. This equation is a basis of the well-known variational method of identification. It has been shown that interpolation method of the local discretization is the first order linear approximation of the uniform analytic discretization formula. It has been demonstrated that its zero order approximation does not depend on the DS coefficients and is a vector of the coefficients of the n-th difference. We conclude that zero order approximation of the observability matrix of DS and of the observability matrix of the polynomial system y (n) = 0 on the lattice is Taylor n-matrix.