Разрешимость краевой задачи для вырождающихся уравнений соболевского типа

Abstract

Целью работы является доказательство существования и единственности регулярных решений первой краевой задачи для систем уравнений соболевского типа с эллиптико-параболическими операторами с пространственным вырождением. А.И. Кожановым были рассмотрены начально-краевые задачи для уравнений соболевского типа с эллиптико-параболическими операторами второго порядка, действующими по пространственным переменным. В его работах были доказаны существование решения при выполнении условий ≪характеристической выпуклости≫ границы области относительно пространственных операторов. Техника, используемая в настоящей работе, будет близка к технике работ вышеуказанного автора. Для исследования вырождающихся систем уравнений соболевского типа используется также сочетание метода регуляризации и метода априорных оценок. С помощью метода регуляризации строится семейство приближенных решений вырождающихся уравнений. Анализ интегральных неравенств, при получении априорных оценок, основан на интегрировании по частям, применении неравенств Коши – Буняковского и Гельдера и неравенства Юнга. Также применяются свойства весовых соболевских пространств. The aim of this work is to prove the existence and uniqueness of regular solutions of the first boundary value problem for the systems of Sobolev type equations with elliptic- parabolic operators with spatial degeneracy. By A.I. Kozhanov considered the initial- boundary value problems for Sobolev type equations with elliptic-parabolic operators of the second order acting on the space variables. The existence of solutions under the conditions ≪characteristic bulge≫ of the border area with respect to the spatial operators have been proved in the works. The technique used in this paper will be close to the technique of above author. For the study of degenerate systems of Sobolev type equations used the combination of the regularization method and the method of a priori estimates. It is constructed a family of approximate solutions of degenerate equations by the regularization method. Analysis of integral inequalities in obtaining of priori estimates, based on the integration by parts and in using of Cauchy – Bunyakovskii, H¨older’s and Young’s inequalities. The roperties of weighted Sobolev spaces also ate used.