О решении методом регуляризации А.Н. Тихонова одной обратной задачи физики твердого тела и оценка погрешности этого метода

Abstract

Рассматривается одномерное интегральное уравнение Фредгольма I рода с замкнутым ядром, имеющее единственное в пространстве W1 2 [a, b] решение. Для решения данного уравнения используется метод регуляризации А.Н. Тихонова первого порядка. Этот метод позволяет свести данное уравнение к вариационной задаче, решая которую приходим к интегродифференциальному уравнению второго порядка. Для решения этого уравнения использован метод конечноразностной аппроксимации, который позволяет свести исходную задачу к системе алгебраических уравнений. В работе приведена оценка погрешности, предложенного алгоритма, которая учитывает погрешность конечноразностной аппроксимации уравнения и позволяет увязать ее с параметром регуляризации и погрешностью исходных данных. Этот алгоритм использован для решения задачи определения фононного спектра кристалла по его теплоемкости. The paper considers one-dimensional Fredholm integral equation of the first kind with a closed core. It is known that the equation has a unique solution in the space W1 2 [a, b]. We use Tikhonov’s regularization method of the first-order to solve the equation. The method allows us to reduce the equation to a variational problem. Solving the variational problem we get integro-differential equation of second order. We apply the finite-difference approximation method to reduce the original problem to a system of algebraic equations. regularization parameter. We obtain an error estimate for the proposed algorithm taking into account the error of finitedifference approximation and state the relation between the approximation with the error and the regularization parameter and the error of the initial data. This algorithm is used to solve the problem of determining the phonon spectrum of the crystal given its heat capacity.