Метод решения обратной задачи идентификации функции источника с использованием преобразования Лапласа

Abstract

В статье предложен метод решения задачи идентификации неизвестной функции источника в параболическом уравнении с постоянными коэффициентами с граничными условиями Дирихле и Неймана. Представленный метод основан на использовании прямого и обратного преобразований Лапласа, что позволило свести исходную задачу к решению интегрального уравнения Вольтерра первого рода, характеризующую прямую зависимость неизвестной функции источника от известных граничных условий. Для численного решения полученного уравнения предлагается использовать регуляризующие алгоритмы. В качестве одного из параметров регуляризации в предложенном численном методе выступает количество слагаемых в конечномерном аналоге ядра. С целью оценки эффективности предложенного подхода и получения экспериментальных оценок погрешности численных решений задачи идентификации функции источника был проведен вычислительный эксперимент. Результаты эксперимента и свидетельствуют о достаточной устойчивости численных решений, полученных на основе предложенного метода. In this contribution, the method for solving the inverse source problem for parabolic partial differential equations with Dirichlet and Neumann boundary conditions is proposed. We reduce this problem to solving Volterra integral equation of the first kind via applications of the Laplace transforms. Then we use the regularization technique for numerical solving for the obtained equation. The integral equation describe the explicit dependence of the unknown source term on the Neumann boundary condition. The proposed approach allows to eliminate the unstable inverse Laplace transform from numerical scheme and simplify the computational procedure provided the basis to develop method for solving an inverse source problem. This approach to solving the inverse source problem is used for the first time. The efficiency of method and accuracy of the numerical solutions were evaluated by means of computational experiment.