Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Дирихле со слабой особой точкой

Abstract

Рассматривается задача Дирихле для сингулярно возмущенного, линейного, однородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с негладким коэффициентом в действительной оси. Подобные задачи встречаются в физике, технике, механике сплошной среды, гидродинамике и др. Целью исследования является развитие асимптотического метода пограничных функций Вишика–Люстерника–Васильевой–Иманали- ева для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, в случае, когда соответствующее невозмущенное уравнение имеет негладкое решение в рассматриваемой области. По терминологии А.М. Ильина подобные задачи называют бисингулярными. В работе доказывается возможность применения обобщенного метода пограничных функций к построению полного, равномерного асимптотического разложения решения краевой задачи для сингулярно возмущенного, линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка со слабой особой точкой или интегрируемой особой точкой. Построенное разложение решения является асимптотическим в смысле Эрдей. При построении равномерного асимптотического разложения решения задачи Дирихле использованы: метод малого параметра, метод математической индукции, классический метод пограничных функций, обобщенный метод пограничных функций и принцип максимума. С помощью принципа максимума получена оценка для остаточного члена асимптотического разложения, т. е. равномерное, полное асимптотическое разложение решения по малому параметру обосновано. Приведен конкретный пример. The Dirichlet problem for a singularly perturbed linear homogeneous ordinary differential equation of second order with a nonsmooth coefficient in real axis is considered. Such problems can be seen in physics, engineering, continuum mechanics, hydrodynamics, etc. Object of the research is to develop the asymptotic technique of boundary functions of Vishik–Lusternik–Vasilyeva–Imanaliev for singularly perturbed differential equations in case when the corresponding non-perturbed equation has nonsmooth solution in the considered area. According to terminology of A.M. Ilyin, such problems are called bisingular. The possibility to use a generalized method of boundary functions for constructing a complete proportional asymptotic expansion of the boundary problem solution for a singularly perturbed linear ordinary differential equation of second order with a weak critical point or an integrable critical point is proved in the article. The constructed expansion of solution is asymptotic in the sense of Erdey. When constructing the proportional asymptotic expansion of the Dirichlet problem, the following methods were used: small parameter method, method of mathematical induction, classical method of boundary functions, and the principle of maximum. Using the principle of maximum, an assessment for the asymptotic expansion’s remainder term is obtained, i.e. the proportional complete asymptotic expansion of the solution by small parameter is proved. A specific example is given.