Восстановление параметров течения вязкой теплопроводной жидкости по некоторым измерениям на ее поверхности

Abstract

Определяются физические характеристики установившегося течения вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости по измерениям температуры и потока тепла на ее дневной поверхности. Основными искомыми характеристиками являются температура и скорость жидкости во всей модельной области. Задача формализуется как обратная граничная задача для модели течения естественной тепловой конвекции высоковязкой несжимаемой жидкости. Математическая модель течения такой жидкости описывается стационарными уравнениями Навье–Стокса для ньютоновской реологии среды в приближении Буссинеска в поле силы тяжести, уравнением несжимаемости среды, стационарным уравнением сохранения энергии с соответствующими граничными условиями. Плотность и вязкость жидкости нелинейно зависят от ее температуры. Рассматриваемая обратная задача является некорректной и не обладает свойством устойчивости, малое возмущение исходных данных на участке границы, доступной для измерений, приводит к неконтролируемым ошибкам в определении искомых величин. Для численного решения неустойчивых задач требуется разработка специальных методов. Цель данной работы состоит в построении методов и алгоритмов конструктивного устойчивого численного моделирования решения рассматриваемой обратной задачи. Для реализации этой цели предлагается воспользоваться вариационным методом, который основан на сведении исходной задачи к некоторой экстремальной задаче на минимум подходящего целевого функционала и его устойчивой минимизации каким-либо подходящим способом. При такой стратегии организуется итерационный процесс последовательного численного решения краевых задач граничного управления, которые представляют собой системы дифференциальных уравнений с частными производными с полностью определен- ными граничными условиями. Для минимизации функционала качества применяется метод сопряженных градиентов в реализации Ролака– Рибьера. Градиент этого функционала и шаг спуска определяются аналитически, что позволяет существенно сократить объем вычислений. Метод конечных объемов применяется для интегрирования систем дифференциальных уравнений с частными производными с различными типами граничных условий. Построенные алгоритмы численного моделирования реализованы в пакете вычислений OpenFOAM. Проведен расчет модельного примера. Physical characteristics of steady motion of viscous heat-conducting incompressible fluid by changes of temperature and heat flow on its daylight surface are determined in the article. The main desired characteristics are temperature and fluid velocity in the entire simulation area. The problem is formalized as an inverse boundary problem for the flow model of natural thermal convection of highly viscous incompressible fluid. The mathematical flow model of such fluid is described by a stationary Navier- Stokes equations for Newtonian rheology of a medium in Boussinesq approximation in the field of gravity, by the medium incompressibility equation, stationary equation of energy conservation with corresponding boundary conditions. Density and viscosity of the fluid have non-linear dependence on its temperature. The considered inverse problem is incorrect and does not possess the property of stability; small perturbation of initial data on the section of the boundary available for measurement leads to uncontrolled errors in determining the desired values. For numerical solution of unstable problems special methods should be developed. The goal of the article is in developing methods and algorithms of constructive sustainable numerical simulation of the considered inverse problem’s solution. In order to implement this goal, the use of variational method, which is based on reduction of the initial problem to some extremum problem on the minimum of the appropriate objective functional and its sustainable minimization by some appropriate technique, is proposed. Using this strategy, an iteration process of sequential numerical solution of boundary problems of boundary control, which are systems of differential equations with partial derivatives with completely determined boundary conditions, is organized. In order to minimize quality functional, the Polac–Ribiere conjugate gradient method is used. This functional’s gradient and the descent step are determined analytically which allows significantly decreasing the volume of calculations. The method of finite volumes is used for integrating the systems of differential equations with partial derivatives with various types of boundary conditions. The developed algorithms of numerical simulation are implemented in the OpenFOAM calculations package. Calculation of the simulated example is carried out.