Recovering of Lower Order Coefficients in Forward-Backward Parabolic Equations

Abstract

We study the issue of recovering a lower order coefficient depending on spatial variables in a forward-backward parabolic equation of the second order. The overdetermination condition is an analog of the final overdetermination condition. A solution at the initial and final moments of time is given. Equations of this type often appear in mathematical physics, for example, in fluid dynamics, in transport theory, geometry, population dynamics, and some other fields. Conditions on the data are reduced to smoothness assumptions and some inequalities for the norms of the data. So it is possible to say that the obtained results are local in a certain way. Under some condition on the data, we prove that the problem is solvable. Uniqueness of the theorem is also described. The arguments rely on the generalized maximum principle and the solvability of theorems of the periodic direct problem. The results generalize the previous knowledge about the multidimensional case. The used function spaces are the Sobolev spaces. Рассматривается обратная задача восстановления младшего коэффициента, зависящего от пространственных переменных, в параболическом уравнении второго порядка с меняющимся направлением времени. Условие переопределения – аналог условия финального переопределения. Решение задается в начальный и конечный момент времени. Уравнения такого типа возникают в математической физике, в задачах гидродинамики, в теории переноса, геометрии, популяционной динамике, и некоторых других областях. Условия на данные сводятся к условиям гладкости и некоторым неравенствам для норм данных. В силу этого можно сказать, что полученные результаты являются в некоторой степени локальными. При выполнении условий на данные доказано, что задача разрешима. Получена также и теорема единственности при несколько более жестких условиях. Задача сводится к операторному уравнению, разрешимость которого устанавливается при помощи априорных оценок и теоремы Лерэ-Шаудера. Доказательства априорных оценок основаны на обобщенном принципе максимума и теоремах о разрешимости периодической задачи. Полученное решение является обобщенным решением и уравнение удовлетворяется в смысле интегрального тождества. Результаты обобщают уже известные на многомерный случай. Используемые функциональные пространства есть пространства Соболева.