Об одной игровой задаче управления точками вблизи поверхности Луны

Abstract

Рассматривается игровая задача управления, в которой первый игрок управляет материальной точкой переменного состава. Второй игрок управляет точкой, которая может двигаться с ограниченной по величине скоростью. Предполагается, что на материальную точку переменного состава, наряду с управляемой реактивной силой, действует еще постоянная сила, величина которой пропорциональна массе точки. Такая ситуация возникает, например, при рассмотрении движения материальной точки вблизи поверхности Луны, где отсутствует атмосферное сопротивление. Считается, что у точки переменного состава величина относительной скорости отделяющихся частиц топлива является постоянной, а величина тяги ограничена сверху заданным положительным числом. Первый игрок стремится минимизировать в заданный момент времени расстояние между точками, расходуя при этом как можно меньше ресурсов. Сформулированная двухкритериальная задача с помощью весовых коэффициентов сводится к дифференциальной игре, плата в которой является суммой как терминальной, так и интегральной составляющих. С помощью замены переменных задача сводится к однотипной игре, в которой вектограммы игроков являются шарами с радиусами, зависящими от времени. Вычислена функция цены игры и найдены оптимальные управления игроков. A game control problem in which the first player controls the material point of variable composition is considered. The second player controls the point that can move with a limited speed. It is assumed that the material point of variable composition, along with the controlled reactive power, is exposed to a constant force, the value of which is proportional to the mass of the point. This situation occurs, for exam ple, when we consider the motion of a material point near the surface of the Moon, where there is no atmospheric resistance. It is considered that the point of variable composition has constant relative velocity of separating fuel particles, and the value of thrust is limited from above with a given positive number. The first player tries to minimize the distance between the points in a set moment, consuming as little resources as possible. The formulated two-criterion problem, with the use of weight coefficients, gets reduced to a differential game, the payoff of which is the sum of both terminal and integral components. By changing variables, the problem is reduced to a single-type game in which vectograms of players are balls with time-dependent radii. The function of the game price is calculated, and optimal control of the players is determined.