Возникновение автоколебаний в системе Рэлея с диффузией

Abstract

Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцхью - Нагумо. Пространственная переменная изменяется в произвольной томерной ограниченной области, рассматриваются краевые условия Дирихле или смешанные краевые условия. Найдены критические значения управляющего параметра, отвечающие колебательной и монотонной потере устойчивости нулевого равновесия. Получены явные асимптотические представления пространственно-временных структур, которые образуются вследствие колебательной потери устойчивости нулевого равновесия при различных типах краевых условий. Показано, что происходит мягкая потеря устойчивости. С помощью построения абстрактной схемы и применения метода Ляпунова - Шмидта выведены формулы для общего члена разложения автоколебаний. Установлено, что для всех рассматриваемых краевых условий общий член асимптотики вторичного решения представляет собой нечетный тригонометрический полином по времени. Приведены примеры приложений общей схемы к случаю одной пространственной переменной, когда вторичные решения обладают дополнительными симметриями. Если на концах отрезка заданы краевые условия Дирихле, то в выражение для n-го члена асимптотики входят лишь конечные линейные комбинации собственных функций оператора Лапласа с нечетными индексами не выше и. Если на концах отрезка заданы смешанные краевые условия, то в выражения n-го члена асимптотики входят лишь конечные линейные комбинации собственных функций с индексами не выше П+1. A reaction-diffusion system with cubic nonlinear term, which is the infinite-dimensional case of classical Rayleigh oscillator, is considered in the present paper. Spatial variable belongs to a bounded m-dimensional domain D, supposed that Dirichlet or Neumann conditions are set on the boundary. Critical values of control parameter, corresponding to monotonous and oscillatory instability are found. Asymptotic approximations of patterns, branching from zero uniform solution due to oscillatory instability are found. Asymptotic approximations are valid for different types of boundary conditions. It is shown that soft loss of stability takes place in the system. By developing an abstract scheme and applying Lyapunov-Sehmidt method, formulas for consecutive terms of asymptotic expansion are found. It was found that all terms of asymptotic expansion are odd trigonometric polynomials in time. Several applications of abstract scheme to one-dimensional domain are shown. In this case, branching solutions have certain symmetries. It is shown that the n-th term of asymptotic contains eigenfunctions of Laplace operator with indexes less or equal to n in the case of Diriclet boundary conditions or 1 ess or equal to otherwise.