Inverse problems for some Sobolev-type mathematical models

Abstract

The present article is devoted to the study of mathematical models based the Sobolev- type equations and systems arising in dynamics of a stratified fluid, elasticity theory, hydrodynamics, electrodynamics, etc. Along with a solution we determine an unknown right-hand side and coefficients in a Sobolev-type equations of the forth order. The overdetermination conditions are the values of a solution in a collection of points of a spatial domain. The problem is reduced to an operator equation whose solvability is established with the help of a priori estimates and the fixed point theorem. The existence and uniqueness theorems of solutions for the linear and nonlinear cases are proven. In the linear case the result is global in time and it is local in the nonlinear case. The main spaces in question are the Sobolev spaces. Работа посвящена рассмотрению обратных задач для ряда математических моделей, основанных на уравнениях и системах Соболевского типа, возникающих в динамике стратифицированной жидкости, теории упругости, гидродинамике, электродинамике и других областях. Вместе с решением определяются неизвестная правой части и коэффициенты в уравнении типа Соболева четвертого порядка. В качестве условия переопределения берутся значения решения в отдельных точках пространственной области. Задача сводится к некоторому операторному уравнению, разрешимость которого устанавливается при помощи априорных оценок и теоремы о неподвижной точке. Доказываются теоремы о существовании и единственности решения поставленной задачи для линейного и нелинейного случая. В линейном случае результат является глобальным по времени, а в нелинейном локальным по времени. В качестве основных пространств рассматриваются пространства С.Л. Соболева