Сингулярные стохастические уравнения леонтьевского типа в терминах текущих скоростей решения

Abstract

Изучается система стохастических дифференциальных уравнений, в левой и правой частях которых стоят прямоугольные постоянные числовые матрицы, образующие сингулярный пучок. Система рассматривается в терминах текущих скоростей решения, являющихся прямым аналогом физической скорости детерминированных процессов. Для исследования данной системы мы применяем преобразование Кронекера - Вейер- штрасса пучка матриц коэффициентов к канонической форме, что существенно упрощает исследование уравнений. В результате каноническая система уравнений распадается на независимые подсистемы четырех типов. Для подсистем, соответствующих жордановым и сингулярным клеткам Кронекера, получены явные формулы для решений и условия разрешимости, а для подсистемы, разрешенной относительно симметрической производной, с применением замены метрики подпространства и последующему сведению системы к уравнению в форме Ито, доказано существование решения. В результате для рассматриваемой системы доказана теорема существования решений при выполнении некоторых дополнительных условий на коэффициенты системы. We investigate the system of stochastic differential equations, such that in the left-hand and right-hand sides there are rectangular constant matrices forming degenerate pencil. The system is considered in terms of current velocities of solution that are a direct analogue of physical velocity of deterministic processes. For investigation of this system we apply the Kronecker-Weierstrass transformation of the pencil of matrices coefficients to the canonical form that efficiently simplifies the investigation. As a result, the canonical system splits into independent sub-systems of four types. For the sub-systems corresponding to the Jordan singular Kronecker’s cells, we obtain the explicit formulae of solutions and conditions for solvability. For the sub-system resolved with respect to symmetric derivatives, we apply the replacement of the metric in the subspace, then bring the system to a stochastic equation in the Ito form and prove the existence of its solution. As a result for the system under consideration we prove the existence of the solution theorem under some additional conditions on the coefficients.