Метод прогнозирования температурного состояния цилиндра при термообработке в условиях неполной исходной информации

Abstract

Предложен метод определения температуры при нелинейном теплопереносе внутри цилиндрического тела с неизвестной начальной температурой. Исходными данными являются результаты измерений температурных функций вблизи поверхности тела. Рассматриваемая задача возникает при термической обработке изделий в камерных печах. Математическая модель процесса включает в себя нелинейное уравнение теплопроводности, учитывающее зависимость теплофизических свойств материала от температуры, и граничные условия, характеризующие процесс теплообмена на поверхности тела. Для определения температуры внутри тела предложен метод дискретной регуляризации, позволяющий последовательно находить температуру в направлении от поверхности к оси цилиндра. Вычислительная схема метода предполагает использование стабилизирующих функционалов, а также конечно-разностных уравнений для определения температурных значений по пространственной переменной, что позволяет уменьшить влияние неизвестных начальных условий. Использование стабилизирующих функционалов позволяет обеспечить устойчивость вычислительной процедуры относительно погрешности исходных данных. В статье приведены результаты исследований устойчивости вычислительной схемы. С целью проверки принципиальной возможности определения температуры и получения экспериментальных оценок температурных погрешностей проведен вычислительный эксперимент. В эксперименте выполнен расчет температурного поля цилиндра с неизвестной начальной температурой, проведен сравнительный анализ найденных температурных функций с тестовыми значениями и получены экспериментальные оценки уклонений вычисленных температур от тестовых значений. Результаты вычислительного эксперимента представлены в работе, согласуются с теоретическими оценками и подтверждают эффективность и надежность предлагаемой вычислительной схемы. The paper is devoted to the problem of determining the temperature inside the cylinder based on the surface measurements. The main characteristics of the material such as specific heat, thermal conductivity and material density depend on the temperature at each point of the body. This problem appears in complex heat treatment of products. The mathematical model of heat transfer is presented as nonlinear heat conduction equation with unknown initial condition. In this problem, both the Dirichlet and Neumann boundary conditions are given. The computational scheme of the method is based on the using of finite-difference equations and regularization technique. This approach allows to obtain the temperature inside cylindrical body and then to determine the unknown temperature on the cylinder axis. We investigate the stability of computational method and obtain the dependence of stability on the discretization steps and level error of the initial data. The reliability and the efficiency of the method were confirmed by results of computational experiments.