Решение эллиптических уравнений в полигональных областях методом коллокации и наименьших квадратов

Abstract

В данной работе рассматривается новый вариант метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) для численного решения краевых задач для эллиптических уравнений в полигональных областях, в том числе в многосвязных. Возможности этого варианта и численные эксперименты рассмотрены на примерах решения уравнения Пуассона и неоднородного бигармонического уравнения. В качестве приложения решение неоднородного бигармонического уравнения использовано для моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) изотропной упругой тонкой пластинки полигональной формы, находящейся под действием поперечной нагрузки. Новый вариант метода КНК основан на триангуляции исходной области, чем принципиально отличается от предложенных ранее более сложных вариантов метода КНК решения краевых задач для уравнений с частными производными (УЧП) в нерегулярных областях. Установлено, что приближенные решения рассмотренных задач на последовательности измельчающихся сеток сходятся с повышением порядка и с высокой точностью совпадают с тестовыми решениями. The paper considers a new version of the least squares collocation (LSC) method for thenumerical solution of boundary value problems for ellipticequations in polygonal domains,in particular, in multiply connected domains. The implementation of this approach andnumerical experiments are performed on the examples of the inhomogeneous biharmonicand Poisson equations. As an application, we use the nonhomogeneous biharmonic equationto simulate the stress-strain state of isotropic elastic thin plate of polygonal form under theaction of transverse load. The new version of the LSC method is based on thetriangulation of the original domain. Therefore, this approach is fundamentally differentfrom the previous more complicated versions of the LSC method proposed to solve theboundary value problems for partial derivative equations in irregular domains. We make thenumerical experiments on the convergence of the approximate solution to various problemson a sequence of grids. The experiments show that the solution to the problems convergeswith high order and, in the case of the known analytical solution, matches with highaccuracy with the analytical solution to the test problems.