Calculation of discrete semi-bounded operators’ eigenvalues with large numbers

Abstract

In previous works of the article’s authors on development of the Galerkin method, linear formulas for calculating the approximate eigenvalues of discrete lower semi-bounded operators have been obtained. The formulas allow calculating the eigenvalues of the specified operators of any number, regardless of whether the eigenvalues of the previous numbers are known or not. At that, it is possible to calculate the eigenvalues with large numbers when application of the Galerkin method is becoming difficult. It is shown that eigenvalues of small numbers of various boundary-value problems, generated by discrete lower semibounded operators and calculated by linear formulas and by the Galerkin method, are in a good conformity. In this paper we use linear formulas to calculate approximate eigenvalues with large numbers of discrete lower semi-bounded operators. Results of calculation of eigenvalues by linear formulas and by known asymptotic formulas for two spectral problems are given. Comparison of the results of calculations of the approximate eigenvalues shows that they almost coincide for sufficiently large numbers. This proves the fact that linear formulas can be used for the considered spectral problems and sufficiently large numbers of eigenvalues. В предыдущих работах авторов статьи в развитии метода Галеркина получены линейные формулы для вычислений приближенных собственных значений дискретных полуограниченных снизу операторов. Формулы позволяют вычислять собственные значения указанных операторов любого номера независимо от того, известны ли собственные значения с предшествующими номерами или нет. При этом можно вычислять собственные значения и с большими номерами, когда применение метода Галеркина становится затруднительным. Показано, что собственные значения небольших номеров различных краевых задач, порожденных дискретными полуограниченными снизу операторами, вычисленные по линейным формулам и методом Галеркина, хорошо согласуются. В работе применены линейные формулы для вычисления приближенных собственных значений с большими номерами дискретных полуограниченных снизу операторов. Приведены результаты вычислений собственных значений по линейным формулам и по известным асимптотическим формулам для двух спектральных задач. Сравнение результатов проведенных вычислений приближенных собственных значений показывает, что для достаточно больших номеров они практически совпадают. Это подтверждает тот факт, что для рассматриваемых спектральных задач и достаточно больших номеров собственных значений можно использовать линейные формулы.