Positive solutions to Sobolev type equations with relatively p-sectorial operators

Abstract

The article describes sufficient conditions for the existence of positive solutions to both the Cauchy problem and the Showalter–Sidorov problem for an abstract linear Sobolev type equation. A distinctive feature of such equations is the phenomenon of non-existence and non-uniqueness of solutions. The research is based on the theory of positive semigroups of operators and the theory of degenerate holomorphic semigroups of operators. The merger of these theories leads to a new theory of degenerate positive holomorphic semigroups of operators. In spaces of sequences, which are analogues of Sobolev function spaces, the constructed abstract theory is used to study a mathematical model. The results can be used to study economic and engineering problems. В статье описаны условия, достаточные для существования позитивных решений задачи Коши и задачи Шоуолтера – Сидорова для абстрактного линейного уравнения соболевского типа. Отличительной чертой таких уравнений является феномен несуществования и неединственности решений. Фундаментом наших исследований стали теория позитивных полугрупп операторов и теория вырожденных голоморфных полугрупп операторов. В результате слияния этих теорий получилась новая теория вырожденных позитивных голоморфных полугрупп операторов. В пространствах последовательностей, являющихся аналогами функциональных пространств Соболева, построенная абстрактная теория применена для исследования одной математической модели. Полученные результаты могут быть применены для исследования экономических и инженерных задач.