Classification of prime projections of knots in the thickened torus of genus 2 with at most 4 crossings

Abstract

We begin classification of prime knots in the thickened torus of genus 2 having diagrams with at most 4 crossings. To this end, it is enough to construct a table of prime knot projections with at most 4 crossings, and use the table to obtain table of prime diagrams, i. e. table of prime knots. In this paper, we present the result of the first step, i. e. we construct a table of prime projections of knots in the thickened torus of genus 2 having at most 4 crossings. First, we introduce definition of prime projection of a knot in the thickened torus of genus 2. Second, we construct a table of prime projections of knots in the thickened torus of genus 2 having at most 4 crossings. To this end, we enumerate graphs of special type and consider all possible embeddings of the graphs into the torus of genus 2 that lead to prime projections. In order to simplify enumeration of the embeddings, we prove some auxiliary statements. Finally, we prove that all obtained projections are inequivalent. Several known and new tricks allow us to keep the process within reasonable limits and rigorously theoretically prove the completeness of the constructed table. Мы начинаем классификацию примарных узлов в утолщенном торе рода 2, имеющих диаграммы с не более чем 4 перекрестками. Классификация проводится в два шага. На первом шаге строится таблица примарных проекций с не более чем 4 перекрестками. На втором шаге полученная таблица используется для построения таблицы примарных диаграмм, т.е. таблицы примарных узлов. В этой статье мы представляем результат первого шага, т.е. строим таблицу всех примарных проекций узлов в утолщенном торе рода 2, имеющих не более 4 перекрестков. Таблица строится в три этапа. На первом этапе мы вводим определение примарной проекции узла в утолщенном торе рода 2. На втором этапе мы строим таблицу примарных проекций узлов в утолщенном торе рода 2, имеющих не более 4 перекрестков. Для этого мы перечисляем графы специального вида и рассматриваем все возможные вложения этих графов в тор рода 2, которые приводят к примарым проекциям. Здесь мы доказываем несколько вспомогательных утверждений, сокращающих перечисление таких вложений. Наконец, на третьем этапе, мы доказываем, что все полученные проекции неэквивалентны. Ряд известных и новых приемов позволил удержать процесс в разумных пределах и строго теоретически доказать полноту построенной табли- цы.