О структуре пространства однородных полиномиальных дифференциальных уравнений на окружности

Abstract

Рассматриваются дифференциальные уравнения, правые части которых являются однородными тригонометрическими полиномами степени n. Фазовым пространством таких уравнений является окружность. Описаны грубые уравнения – уравнения, для которых топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к близкому уравнению. Уравнение является грубым тогда и только тогда, когда его правая часть имеет только простые нули, то есть все особые точки которого – гиперболические. Множество всех грубых уравнений открыто и всюду плотно в пространстве Eh(n) рассматриваемых уравнений. Описаны связные компоненты этого множества. Два грубых уравнения, имеющие особые точки, принадлежат одной компоненте тогда и только тогда, когда они топологически эквивалентны. Во множестве всех негрубых уравнений выделено открытое и всюду плотное подмножество, состоящее из уравнений первой степени негрубости – уравнений, для которых топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к близкому негрубому уравнению. Оно является аналитическим подмногообразием коразмерности один в Eh(n) (бифуркационным многообразием) и состоит из уравнений, для которых все особые точки гиперболические, за исключением двух седло-узловых особых точек. Доказано, что любые два грубых уравнения можно соединить в Eh(n) гладкой дугой с конечным числом бифуркационных точек, в которых эта дуга трансверсальна бифуркационному многообразию. In this paper, differential equations with their right-hand sides as homogeneous trigonometric polynomials of n degree are examined. The phase space of such equations is a circle. Rough equations, for which the topological structure of the phase portrait does not change when considering a close equation, are described. An equation can be seen as rough if and only if its right-hand side has only simple zeros, that is, all the singular points of which are hyperbolic. The set of all the rough equations is open and is everywhere dense in the space Eh(n) of the equations under consideration. The connected components of this set are described. Two rough equations with singular points are attributed to the same component if and only if they are topologically equivalent. In the set of all the non-rough equations, an open and everywhere dense subset is selected, consisting of the equations of the first degree of non-roughness; these are the equations, for which the topological structure of the phase portrait does not change when considering a close non-rough equation. It is an analytic submanifold of codimension one in Eh(n) (the bifurcation manifold) and consists of the equations, for which all the singular points are hyperbolic, with the exception of two saddle-node singular points. It is proved that any two rough equations can be connected in Eh(n) by a smooth arc with a finite number of bifurcation points where this arc is transversal to the bifurcation manifold.