On basis property of root functions for a class of the second order differential operators

Abstract

It is well known that the Sturmian theory is an important tool in solving numerous problems of mathematical physics. Usually, eigenvalue parameter appears linearly only in the differential equation of the classic Sturm–Liouville problems. However, in mathematical physics there are also problems, which contain eigenvalue parameter not only in differential equation, but also in the boundary conditions. In this paper, we consider a Sturm–Liouville equation with the eigenparameter dependent boundary condition and with transmission conditions at two points of discontinuity. The aim of this paper is to investigate the completeness, minimality and basis properties of rootfunctions for the considered boundary value problem. Хорошо известно, что теория Штурма является важным инструментом решения широкого класса задач математической физики. Как правило, в классических задачах Штурма–Лиувилля собственные значения линейно входят только в дифференциальное уравнение. Однако в математической физике встречаются задачи, в которых собственные числа появляются не только в дифференциальном уравнении, но и в граничных условиях. В этой статье мы рассматриваем задачу Штурма–Лиувилля, собственные значения которой входят в уравнение, присутствуют в граничных условиях и дополнительно должны быть согласованы с условиями прохождения решения через две фиксированные точки разрыва. Целью данной работы является исследование полноты, минимальности и базисных свойств корневых функций рассматриваемой краевой задачи.