On a model of spontaneous symmetry breaking in quantum mechanics

Abstract

Our goal is to find a model for the phenomenon of spontaneous symmetry breaking arising in one dimensional quantum mechanical problems. For this purpose we consider boundary value problems related with two interior points of the real line, symmetric with respect to the origin. This approach can be treated as a presence of singular potentials containing shifted Dirac delta functions and their derivatives. From mathematical point of view we use a technique of selfadjoint extensions applied to a symmetric differential operator which has a domain containing smooth functions vanishing in two mentioned above points. We calculate the resolvent of corresponding extension and investigate its behavior if the interior points change their positions. The domain of these extensions can contain some functions that have non differentiability or discontinuity at the points mentioned above, the latter can be interpreted as an appearance of singular potentials centered at the same points. Next, broken-symmetry bound states are discovered. More precisely, for a particular entanglement of boundary conditions, there is a ground state, generating a spontaneous symmetry breaking, stable under the phenomenon of decoherence provoked from external fluctuations. We discuss the model in the context of the “chiral” broken-symmetry states of molecules like NH3.We show that within a Hilbert space approach a spontaneous symmetry breaking disappears if the distance between the mentioned above interior points tends to zero. Исследуется спонтанное нарушение симметрии в одномерной квантовомеханичесой проблеме в терминах двухточечной граничной проблемы, ведущей к сингуляным потенциалам, содержащим сдвинутые дельта-функции и их производные. С математической точки зрения при этом используется метод самосопряжeнных расширений симметрического дифференциального оператора, заданного на гладких функциях с интегрируемым квадратом модуля, обнуляющихся вместе со своей первой производной в двух внутренних точках вещественной прямой. Мы находим резольвенту для таких расширений и оцениваем еe поведение при изменении положения указанных точек. Область определения подобных расширений может содержать функции, терпящие разрыв и/или имеющие разрывную производную в точках, указанных выше, последнее может интерпретироваться как присутствие взаимозависимых (сцепленных) сингулярным потенциалов, сосредоточенных в тех же точках. Наша цель – найти связанные состояния с нарушенной симметрией. Для частного случая взаимозависимых граничных условий мы доказываем существование связанного состояния, приводящего к спонтанному нарушению симметрии, стабильному по отношению к феномену декогеренции, порождeнной внешними флуктуациями. Мы обсуждаем представленную модель в контексте ≪киральных≫ связанных состояний с нарушенной симметрией молекул, таких как NH3. Показано, что в рамках теории гильбертовых пространств этот эффект исчезает при обнулении расстояния между указанными выше точками.