Аннотации:
Настоящая работа продолжает большой цикл публикаций авторов, посвященных
решениям нелинейного уравнения теплопроводности, которые имеют тип тепловой
волны, распространяющейся по нулевому фону с конечной скоростью. Изучается проблема построения точных решений искомого типа для нелинейного уравнения теплопроводности с источником (стоком) и определения их свойств. Особенностью подобных
решений является то, что на фронте тепловой волны параболический тип уравнения
имеет вырождение, из-за чего оно приобретает необычные для параболических уравнений свойства. Рассмотрены два типа решений: простая волна, которая движется с
постоянной скоростью и имеет вид уединенной волны (солитона); волна с экспоненциальным законом движения фронта. В обоих случаях построение редуцируется к задачам Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка,
которые наследуют особенность от исходной задачи. Построены фазовые портреты
ОДУ, установлены свойства траекторий, проходящих через особые точки. Также получены разложения искомых решений в степенные ряды, для которых найдены оценки
радиуса сходимости. This paper continues a large series of our publications devoted to solutions of the
nonlinear heat conduction equation. The solutions are heat waves that propagate over a zero
background with a finite velocity. We study the problem on constructing exact solutions of
the considered type for the nonlinear heat conduction equation with a source (sink) and
determining their properties. A feature of such solutions is that the parabolic type of the
equation is degenerate at the front of a heat wave, therefore, properties unusual for parabolic
equations appear. We consider two types of solutions. The first one is a simple wave that
moves at a constant speed and has the form of a solitary wave (soliton). The second one
is a heat wave with an exponential law of front motion. In both cases, the construction is
reduced to Cauchy problems for second-order ordinary differential equations (ODEs), which
inherit the singularity from the original problem. We construct phase portraits of ODEs
and establish the properties of trajectories passing through singular points. Also, we obtain
the power series expansions of the required solutions and estimate their convergence radii.
Описание:
Александр Леонидович Казаков, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления имени
В.М. Матросова СО РАН (г. Иркутск, Российская Федерация), kazakov@icc.ru.
Павел Александрович Кузнецов, кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления имени
В.М. Матросова СО РАН (г. Иркутск, Российская Федерация), kuznetsov@icc.ru. A.L. Kazakov1, P.A. Kuznetsov1
Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory SB RAS,
Irkutsk, Russian Federation
E-mails: kazakov@icc.ru, kuznetsov@icc.ru