О сильных решениях одной модели термовязкоупругости типа Олдройда

Abstract

Для начально-граничной задачи динамики термовязкоупругой среды типа Олдройда в плоском случае установлена локальная теорема существования сильного решения. Изучаемая сплошная среда является ограниченной областью на плоскости с достаточно гладкой границей. Рассматриваемая система уравнений является обобщением системы Навье-Стокса-Фурье и получается из нее путем добавления в тензор напряжений интегрального слагаемого, отвечающего за память среды. Вначале рассматривается начально-граничная задача для системы вязкоупругости типа Олдрой да с переменной вязкостью. Затем рассматривается начально-граничная задача для уравнения сохранения энергии с переменным коэффициентом теплопроводности и интегральной частью. Разрешимость этих задач устанавливается путем сведения к операторным уравнениям, для разрешимости которых применяется принцип сжимающих отображений. Для разрешимости исходной системы термовязкоупругости устраивается итерационный процесс, заключающийся в последовательном решении вспомогательных задач. Подходящие априорные оценки дают сходимость последовательных приближений на достаточно малом временном промежутке. Доказательство существенным образом опирается на результаты L. Consiglieri о разрешимости соответствующей системы Навье - Стокса - Фурье. For the initial-boundary value problem in a dynamic Oldroyd-type model of thermoviscoelasticity, we establish the local existence theorem for strong solutions in the planar case. The continuum under consideration is a plane bounded domain with sufficiently smooth boundary. The corresponding system of equations generalizes the Navier-Stokes- Fourier system by having an additional integral term in the stress tensor responsible for the memory of the continuum. In our proof, we study firstly the initial-boundary value problem for an Oldroyd-type viscoelasticity system with variable viscosity. Then we consider the initial-boundary value problem for the equation of energy conservation with a variable heat conductivity coefficient and an integral term. We establish the solvability of these problems by reducing them to operator equations and applying the fixed-point theorem. For the original thermoviscoelasticity system, we construct an iterative process consisting in a consecutive solution of auxiliary problems. Suitable a priori estimates ensure that the iterative process converges on a sufficiently small interval of time. The proof relies substantially on Consiglieri's results on the solvability of the corresponding Navier - Stokes - Fourier system.