О моделировании с использованием дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных

Abstract

Рассматриваются эволюционные системы дифференциальных уравнений в частных производных, зависящие от одной пространственной переменной. Предполагается, что матрицы перед производными искомой вектор-функции вырожденные во всей области определения. Такие системы принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ) в частных производных. Свойства ДАУ существенно отличаются от свойств невырожденных систем. В частности, невозможно судить о типе систем по виду корней характеристических уравнений. В работе вводится понятие расщепляемых систем. Под такими уравнениями понимаются системы, допускающие существование невырожденных преобразований, расщепляющих исходный объект на подсистемы с единственным решением, функциональным произволом от одной из переменных и собственно невырожденную подсистему уравнений в частных производных. Этот прием позволяет исследовать структуру общих решений ДАУ и в ряде случаев установить разрешимость начально краевых задач. We consider evolutionary systems of partial differential equations depending on a single space variable. It is assumed that the matrices multiplying the derivatives of the desired vector-function are singular in the domain. Such systems are commonly called partial differential algebraic equations (PDAEs). Properties of PDEAs are essentially different to the properties of non-singular systems. In particular, it is impossible to dene a type of a system judging by roots of characteristic polynomials. In this paper, we introduce a notion of splittable systems by which we mean systems allowing existence of non-singular transformations that lead to splitting of the original system to the subsystem with a unique solution and the non-singular subsystem of partial differential equations. Such an approach makes it possible to investigate the structure of general solutions to differential algebraic equations and, in some cases, to establish solvability of initial-boundary value problems.