On factorization of a differential operator arising in fluid dynamics

Abstract

Spectral properties of linear operators are very important in stability analysis of dynamical systems. The paper studies the non-selfadjoint second order differential operator that originated from a steady state stability problem in dynamic of viscous Newtonian fluid on the inner surface of horizontally rotating cylinder in the presence of gravitational field. The linearization of the thin liquid film flow in the lubrication limit about the uniform coating steady state results into the operator which domain couples two subspaces spanned by positive and negative Fourier exponents which are not invariant subspaces of the operator. We prove that the operator admits factorization and use this new representation of the operator to prove compactness of its resolvent and to find its domain. Спектральные свойства линейных операторов играют важную роль в анализе устойчивости динамических систем. В заметке исследуются свойства несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка, связанного с исследованием проблемы устойчивости стационарного динамического состояния тонкой пленки, образованной вязкой ньютоновской жидкостью и расположенной на внутренней поверхности вращающегося цилиндра, при наличии гравитационного поля. Линеаризация по малому параметру (отношению толщины потока к размеру цилиндра) в этом случае порождает дифференциальный оператор с областью определения, вложенной в прямую сумму двух подпространств, натянутых, соответственно, на базисы {einx} и {e-inx} (n > 0), причем указанные подпространства не являются инвариантными по отношению к оператору, и одномерного подпространства констант. Доказывается, что этот оператор допускает представление в виде произведения двух дифференциальных операторов первого порядка. Полученное представление используется для доказательства компактности резольвенты исследуемого оператора и непосредственного описания его области определения.