Об одном численном алгоритме решения интегральных уравнений первого рода в пространствах L2, основанном на обобщенном принципе невязки

Abstract

Рассматривается одномерное интегральное уравнение Фредгольма I рода с замкнутым ядром, имеющим решение в классе 1 W2 [a,b] с однородным граничным условием первого рода в точке a. Задача сводится к новому интегральному уравнению относительно производной искомого решения. Полученное интегрального уравнение подвергается конечномерной аппроксимации специального вида, которая позволяет при использовании вариационного метода регуляризации А.Н. Тихонова с выбором параметра регуляризации по обобщенному принципу невязки свести задачу к специальной системе линейных алгебраических уравнений. Проводится также априорная оценка точности полученного устойчивого конечномерного приближенного решения, учитывающая точность конечномерной аппроксимации задачи. Использование данного подхода приводится на примере задачи определения фононного спектра по его теплоемкости, зависящей от температуры, которая, как известно, сводится к интегральному уравнению первого рода. In this paper we consider a one-dimensional Fredholm integral equation of type I closed with a kernel having a solution in the class 1 W2 [a,b] with homogeneous boundary conditions of the first kind at the point a. The problem is reduced to a new integral equation for the derivative of the desired solution. The resulting integral equations is subjected to finite-dimensional approximation of a special form, that allows to use the variational regularization Tikhonov’s method with the choice of regularization parameter according to the generalized discrepancy principle to reduce the problem to a special system of linear algebraic equations. A priori estimation of the accuracy of the resulting finite-stable approximate solution that takes into account the accuracy of the finite-dimensional approximation of the problem is also carried out. Using of this approach is made on the example of the problem of determining the phonon spectrum on its heat capacity, depending on the temperature, which is known to be reduced to integral equations of the first kind.