Голоморфные вырожденные полугруппы операторов и эволюционные уравнения соболевского типа в квазисоболевых пространствах последовательностей

Abstract

Интерес к уравнениям соболевского типа за последнее время существенно вырос, более того, возникла необходимость их рассмотрения в квазибанаховых пространствах. Эта необходимость диктуется не столько желанием пополнить теорию, сколько стремлением осмыслить неклассические модели математической физики в квазибанаховых пространствах. Заметим еще, что уравнения соболевского типа называются эволюционными, если их решения существуют только на полуоси R+ . Теория голоморфных вырожденных полугрупп операторов, построенная ранее в банаховых пространствах и пространствах Фреше, переносится в квазисоболевы пространства последовательностей. Статья содержит четыре параграфа. В первом, имеющем вспомогательное значение, рассматриваются квазибанаховы пространства и определенные на них линейные ограниченные и замкнутые операторы. Также вводятся в рассмотрение квазисоболевы пространства, на которых строятся степени квазиоператора Лапласа. Во втором параграфе в качестве операторов L и M рассмотрены многочлены от квазиоператора Лапласа и получены условия, при которых возникают голоморфные вырожденные полугруппы операторов в квазибанаховых пространствах последовательностей U и F . Другими словами, доказывается первая часть обобщения теоремы Соломяка – Иосиды на квазибанаховы пространства последовательностей. В третьем параграфе строится фазовое пространство однородного уравнения. В последнем параграфе содержится «квазибанахов» аналог однородной задачи Дирихле в ограниченной области с гладкой границей для линейного уравнения Дзекцера. The interest to Sobolev type equations has significantly increased recently, moreover, the need occured to consider them in quasi-Banach spaces. This need is explained not by the desire to enrich the theory but rather by the aspiration to comprehend non-classical models of mathematical physics in quasi-Banach spaces. It should be noted that Sobolev type equations are called evolutionary, provided their solutions exist only on R+ . The theory of holomorphic degenerate semigroups of operators constructed earlier in Banach and Frechet spaces is transferred to quasi-Sobolev spaces of sequences. Besides the introduction and references the paper contains four paragraphs. In the first, quasi-Banach spaces and linear bounded and closed operators defined on them are considered. Quasi-Sobolev spaces and powers of the Laplace quasi-operator are also taken into consideration. In the second paragraph polynomials of the Laplace quasi-operator are considered for operators L and M and conditions for the existence of degenerate holomorphic operator semigroups in quasi-Banach spaces of sequences are obtained. In other words, the first part of the generalization of the Solomyak–Iosida theorem to quasi-Banach spaces of sequences is stated. In the third paragraph the phase space of the homogeneous equation is constructed. The last paragraph investigates the "quasi-Banach" analogue of the homogeneous Dirichlet problem in a bounded domain with a smooth boundary for the linear Dzektser equation.