On perturbation method for the first kind equations: regularization and application

Abstract

One of the most common problems of scientific applications is computation of the derivative of a function specifed by possibly noisy or imprecise experimental data. Application of conventional techniques for numerically calculating derivatives will amplify the noise making the result useless. We address this typical ill-posed problem by application of perturbation method to linear first kind equations Ax = f with bounded operator A: We assume that we know the operator A~ and source function f~ only such as ||A~ − A|| ≤ б;||f~−f|| < б: The regularizing equation A~x+B(а)x = f~ possesses the unique solution. Here а ∈ S; S is assumed to be an open space in Rn; 0 ∈ S; a = a(б): As result of proposed theory, we suggest a novel algorithm providing accurate results even in the presence of a large amount of noise. Одной из распространенных задач, возникающих в различных приложениях, является задача вычисления производной функции, заданной в виде зашумленных или неточно заданных экспериментальных данных. Использование стандарных методов в таких случаях усиливает исходный шум, делая результаты дифференцирования бесполезными для практических приложений. В данной работе эта типичная некорректная задача рассмотрена с точки зрения теории линейных операторных уравнений первого рода. Метод возмущений применяется к линейным уравнениям первого рода Ax = f. Предполагается, что оператор A и функция f заданы приближенно. Построено регуляризирующее уравнение Ax + B(α)x = f, которое имеет единственное решение. Здесь α £ S, где S предполагается открытым множеством в М™, 0 € S, α = α(δ). Строится алгоритм устойчивого численного дифференцирования, позволяющий получать устойчивые результаты в случае сильно зашумленных исходных данных.