Уравнения Осколкова на геометрических графах как математическая модель дорожного движения

Abstract

В настоящее время возникла необходимость создания адекватной математической модели, описывающей дорожное движение. Математическая теория управления транспортными потоками сейчас активно развивается в работах школы А.Б. Куржанского, где транспортный поток уподобляется несжимаемой жидкости, и, как следствие, рассматриваются гидродинамические модели, основанные, например, на системе Навье - Стокса. В отличие от упомянутого направления авторы этой статьи помимо несомненных свойств транспортного потока, рассматриваемых ранее, таких как вязкость и несжимаемость, предлагают учитывать еще и его упругость. Действительно, при включении запрещающего сигнала светофора транспортные средства мгновенно не останавливаются, а плавно снижают скорость вплоть до остановки, накапливаясь перед стоп-линией. Аналогично при включении разрешающего сигнала светофора транспортные средства не стартуют мгновенно и одновременно, а трогаются с места друг за другом, постепенно набирая скорость. Тем самым транспортный поток проявляет эффект ретардации, свойственный вязкоупругим несжимаемым жидкостям, которые описываются системой уравнений Осколкова. В первой части статьи обосновывается линейная математическая модель, т.е. конвективные члены в уравнениях Осколкова отсутствуют. В контексте модели это означает, что перестроениями транспортных средств можно пренебречь. Во второй части модель исследуется на качественном уровне, т.е. формулируется теорема о существовании единственного решения поставленной задачи и приводятся наброски ее доказательства. Currently there arose a necessity of creation of adequate mathematical model describing the flow of traffic. The mathematical traffic control theory is now actively developing in the works of A.B. Kurzhanski and his school, where the transport flow is considered to be similar to the flow of an incompressible fluid, and consequently the hydrodynamic model, for example based on the system of Navier - Stokes Equations, is used. In addition to the obvious properties of traffic flow covered previously, such as viscosity and incompressibility, the authors of this article propose to take into consideration its elasticity. Indeed, when you turn on a forbidding signal of a traffic light vehicles do not stop instantly and smoothly reduce their speed up to stop accumulating before the stop line. Similarly, if you turn on an allowing signal of the traffic light vehicles do not start instantaneously and simultaneously, they start driving one after another, gradually raising up the speed. Thus the transport flow has an effect of retardation, which is typical for viscoelastic incompressible fluids described by a system of Oskolkov equations. The first part of the article substantiates a linear mathematical model, i.e. the model without convective terms in the Oskolkov equations. In the context of the model this means that transposition of vehicles can be neglected. In the second part the model is investigated on a qualitative level, i.e. we formulate the existence of a unique solution theorem for the stated problem and provide an outline of its proof.