Об аналоге задачи Трикоми для уравнения третьего порядка смешанного типа

Abstract

Как известно, уравнениями смешанного типа называются уравнения в частных производных, которые принадлежат разным типам в разных частях рассматриваемой области. Например, в одной части области уравнение может принадлежать эллиптическому, а в другой – гиперболическому типу; эти части разделены линией перехода, на которой уравнение вырождается в параболическое или не определено. В 1923 г. итальянский математик Ф. Трикоми рассмотрел краевую задачу для одного уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа (впоследствии названного его именем) в области, ограниченной в верхней полуплоскости ляпуновской кривой, а в нижней – выходящими из концов этой кривой характеристиками уравнения; краевые условия при этом ставились на кривой и на одной из характеристик. Решение должно было быть непрерывным в замыкании области, непрерывно дифференцируемым внутри нее и дважды непрерывно дифференцируемым в верхней (эллиптической) и нижней (гиперболической) подобластях; для первых производных решения допускались особенности интегрируемого порядка вблизи концов кривой. Ф. Трикоми доказал существование и единственность решения поставленной задачи в указанном классе; при доказательстве существования он свел задачу к сингулярному интегральному уравнению. В данной статье исследован аналог задачи Трикоми для одного сме-шанного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка со спектральным параметром. Доказаны единственность и существование решения поставленной задачи. Единственность решения задачи доказывается методом интегралов энергии, а существование решения – методом редукции к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, разрешимость которого вытекает из единственности решения задачи. It is commonly known that equations of mixed type are partial differential equations that belong to different types in different parts of the domain under consideration. For example, the equation may belong to the elliptic type in one part of the domain and to the hyperbolic type in another one; these parts are separated by a transition line, at which the equation degenerates into parabolic or undefined. In 1923, the Italian mathematician F. Tricomi considered a boundary value problem for one equation of mixed elliptic-hyperbolic type (later named after him) in a domain bounded in the upper halfplane by the Lyapunov curve, and in the lower half-plane by the characteristics of the equation that emerge from the ends of this curve; the boundary conditions were then set on the curve and on one of the characteristics. The solution had to be continuous in the closure of the domain, continuously differentiable within it, and twice continuously differentiable in the upper (elliptic) and lower (hyperbolic) subdomains; for the first derivatives of the solution, singularities of integrable order were allowed near the ends of the curve. Tricomi proved the existence and uniqueness of the solution to the problem in the specified class; when proving the existence, he reduced the problem to a singular integral equation. The article studies an analogue of the Tricomi problem for a third-order hyperbolic-parabolic equation of mixed type with a spectral parameter. The uniqueness and existence of a solution to the problem are proved. The uniqueness of the solution to the problem is proved by the method of energy integrals, and the existence of the solution is proved by the method of reduction to the Fredholm integral equation of the second kind, the solvability of which follows from the uniqueness of the solution to the problem.