Invariant spaces of oskolkov stochastic linear equations on the manifold

Abstract

The Oskolkov equation is obtained from the Oskolkov system of equations describing the dynamics of a viscoelastic fluid, after stopping one of the spatial variables and introducing a stream function. The article considers a stochastic analogue of the linear Oskolkov equation for plane-parallel flows in spaces of differential forms defined on a smooth compact oriented manifold without boundary. In these Hilbert spaces, spaces of random K-variables and K-“noises” are constructed, and the question of the stability of solutions of the Oskolkov linear equation in the constructed spaces is solved in terms of stable and unstable invariant spaces and exponential dichotomies of solutions. Oskolkov stochastic linear equation is considered as a special case of a stochastic linear Sobolev-type equation, where the Nelson–Glicklich derivative is taken as the derivative, and a random process acts as the unknown. The existence of stable and unstable invariant spaces is shown for different values of the parameters entering into the Oskolkov equation. Уравнение Осколкова получается из системы уравнений Осколкова, описывающей динамику вязкоупругой жидкости, после купирования одной из пространственных переменных и введения функции тока. В статье рассматривается стохастический аналог линейного уравнения Осколкова плоскопараллельных течений в пространствах дифференциальных форм, определенных на гладком компактном ориентированном многообразии без края. В данных гильбертовых пространствах строятся пространства случайных K-величин и K-«шумов» и решается вопрос об устойчивости решений линейного уравнения Осколкова в построенных пространствах в терминах устойчивого и неустойчивого инвариантных пространств и экспоненциальных дихотомий решений. Стохастическое линейное уравнение Осколкова рассматривается как частный случай стохастического линейного уравнения соболевского типа, где в качестве производной берется производная Нельсона–Гликлиха, а в качестве неизвестного выступает случайный процесс. При различных значения параметров, входящих в уравнение Осколкова, показано существование устойчивого и неустойчивого инвариантных пространств.