Об одной задаче определения правой части интегро-дифференциального уравнения в частных производных

Abstract

Как нам известно, в обратной задаче кроме искомого «основного» решения задачи (т. е. решения прямой задачи) нам неизвестны какие-либо входящие в прямую задачу. Требуется найти и этих неизвестных, поэтому их тоже мы будем называть решениями обратной задачи. Для определения этих неизвестных в обратной задаче к заданным уравнениям добавляется какая-либо дополнительная информация о решении прямой задачи. Дополнительную информацию называют данными обратной задачи. В предлагаемой статье рассматривается конкретное интегродифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка с известными начальными и краевыми условиями. Для простоты исследовали однородные краевые условия, так как с помощью линейного преобразования всегда неоднородные краевые условия можно привести к однородным. В правой части уравнения присутствуют n неизвестных функций: i(t), i = 1,2,…,n. Для определения этих неизвестных функций: i(t), i = 1, 2,…, n в обратной задаче имеется дополнительная информация о решении прямой задачи, т.е. нам известны значения искомого «основного» решения задачи в внутренних отрезках исследуемой области, т. е. u(t,xi) = gi(t), t[0,T], xi(0,1), i = 1, 2,…, n. Задача исследуется в прямоугольнике, расположенном в первой четверти декартовой системы координат. Для решения обратной задачи разработан алгоритм, в результате найдены достаточные условия существования и единственности решения обратной задачи по восстановлению правой части в интегро-дифференциальном уравнении в частных производных четвертого порядка. При решении обратной задачи использованы методы: преобразования, функций Грина, решения систем линейных интегральных уравнений Вольтерра. В итоге обратную задачу мы приводим к системе (n + 1) линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода, решение которого при малом 0 < T существует и единственно. Рассматриваемую обратную задачу можно называть обратной задачей об источнике. As it is known, in the inverse problem, apart from the sought-for “basic” solution of the problem (i. e., the solution of the direct problem), the components of the direct problem are unknown. It is required to find these unknown components, so they will be also included in the solution of the inverse problem. To determine these components in the inverse problem, some additional information on the solution of the direct problem is added to the given equations. The additional information is called the inverse problem data. In the proposed article, the specific fourth-order partial integro-differential equation with the known initial and boundary conditions is considered. For simplicity, the homogeneous boundary conditions have been examined, since with the help of a linear transformation, the always inhomogeneous boundary conditions can be reduced to the homogeneous ones. The right-hand side of the equation contains n unknown functions: φi(t), i = 1,2,…,n.. To determine these unknown functions: φi(t), i = 1,2,…,n in the inverse problem there is additional information on the solution of the direct problem, i.e., the values of the sought-for “basic” solution to the problem in the inner segments of the investigated region are known, i. e., u(t,xi) = gi(t), t∈[0,T], xi∈ (0,1), i = 1,2,…,n. The problem is investigated in a rectangle located in the first quarter of the Cartesian coordinate system. To solve the inverse problem, an algorithm has been elaborated and sufficient conditions for the existence and the uniqueness of the solution of the inverse problem for the restoration of the right-hand side in a fourth-order partial integrodifferential equation have been found. When solving the inverse problem, the methods of transformations, Green's function, solutions of systems of linear Volterra integral equations have been used. As a result, the inverse problem has been reduced to a system of (n + 1) linear Volterra integral equations of the second kind, the solution of which for small 0 < T exists and is unique. The considered inverse problem can be called the inverse source problem.