Аннотации:
We develop an approach to constructing a new high-accuracy hp-version of the leastsquares collocation (LSC) method for the numerical solution of boundary value problems for elliptic equations with a coefficient discontinuity on lines of different shapes in a problem solution domain. In order to approximate the equation and the conditions on
the discontinuity of its coefficient, it is proposed to use the external parts and irregular
cells (i-cells) of the computational grid which are cut off by the line of discontinuity from
regular rectangular cells. The proposed approach allows to obtain solutions with a high
order of convergence and high accuracy by grid refining and/or increasing the degree of the approximating polynomials both in the case of the Dirichlet conditions on the boundary
of the domain and in the case of the presence of Neumann conditions on a large part of
the boundary. Also, we consider the case of the problem with a discontinuity of the second
derivatives of the desired solution in addition to the coefficient discontinuity at the corner
points of the domain. We simulate the heat transfer process in the domain where particles
of the medium move in a plane-parallel manner with a phase transition and heat release at
the front of the discontinuity line. An effective combination of the LSC method with various
methods of accelerating the iterative process is demonstrated: the acceleration algorithm
based on Krylov subspaces; the operation of prolongation along the ascending branch of
the V-cycle on a multigrid complex; parallelization. The results are compared with those of
other authors on solving the considered problems. Разработан подход построения нового hp-варианта метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) численного решения с повышенной точностью краевых задач для эллиптических уравнений с разрывом коэффициента на линиях различных форм в области решения задачи. Для аппроксимации уравнения и условий на разрыве его коэффициента в алгоритме предложено использовать законтурные части и нерегулярные ячейки (н-ячейки) расчетной сетки, отсеченные линией разрыва от регулярных.
Описание:
V.P. Shapeev1,2, V.A. Belyaev1, L.S. Bryndin1,2
1Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS, Novosibirsk,
Russian Federation
2Novosibirsk State University, Novosibirsk, Russian Federation
E-mails: vshapeev@gmail.com, va.belyaev@itam.nsc.ru, l.bryndin@g.nsu.ru
Василий Павлович Шапеев, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН (г. Новосибирск, Российская Федерация); профессор, кафедра математического моделирования, Новосибирский государственный университет (г. Новосибирск, Российская Федерация), vshapeev@gmail.com.
Василий Алексеевич Беляев, аспирант, младший научный сотрудник, Институт
теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН (г. Новосибирск, Российская Федерация), va.belyaev@itam.nsc.ru.
Лука Сергеевич Брындин, старший лаборант с высшим профессиональным образованием, Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН (г. Новосибирск, Российская Федерация); аспирант механикоматематического факультета, кафедра математического моделирования, Новосибирский государственный университет (г. Новосибирск, Российская Федерация),l.bryndin@g.nsu.ru.