Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки мембранного покрытия с подкрепляющим элементом

Abstract

В работе на примере моделирования напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек мембранных покрытий с подкрепляющим элементом рассмотрен подход к многомерной аппроксимации, прототипом которого послужил метод наименьших квадратов. Отличительной особенностью предложенного подхода является отсутствие необходимости составления и решения системы линейных алгебраических уравнений для определения полиномиальных коэффициентов аппроксимирующей функции. Вместо этого для минимизации суммы квадратичных отклонений между исходными данными и расчётными используются быстродействующие численные алгоритмы поиска экстремальных значений, реализованные в программном пакете MS Excel в виде функции «Поиск решения». В результате моделирования получаются уравнения, содержащие натуральные значения факторов. А в случае использования нелинейных координатных сеток или нормирования можно легко перейти к натуральным значениям факторов путём замены переменных. Из полученных результатов видно, что предложенный подход к аппроксимации многомерных экспериментальных данных является в достаточной степени гибким и эффективным инструментом, но вместе с тем обладает недостатками, присущими классическому методу наименьших квадратов в части возникновения незапланированных осцилляций между узловыми точками аппроксимации. Поэтому в работе приведен пример использования геометрической теории многомерной интерполяции для решения тех же задач моделирования, но с использованием геометрических интерполянтов. Как видно из результатов, в конкретном случае модели, полученные на основе геометрической теории многомерной интерполяции, наиболее точно отображают характер протекания процесса и потому являются более предпочтительными по отношению к моделям, полученным с помощью двумерной аппроксимации. Вместе с тем аппроксимационные модели получены в виде явных функций, а интерполяционные – в параметрическом виде. This work considers an approach to multidimensional approximation with regard to modeling the stress-strain state of cylindrical shells of membrane coatings with a reinforc-ing element. The proposed approach is characterized by the absence of the need to com-pose and solve a system of linear algebraic equations, in order to determine the polynomi-al coefficients of the approximating function. Instead, in order to minimize the sum of squared deviations between the initial data and those calculated, high-speed numerical al-gorithms to define extreme values are used. They were obtained in the MS Excel software package in the form of the “Find solution” function. The proposed approach to the approximation of multidimensional experimental data is a flexible and effective tool. Never-theless, it has certain disadvantages inherent in the classical least square method in terms of the occurrence of unplanned oscillations between the nodal points of the approximation. Therefore, this paper provides an example of the use of geometric theory of multidi-mensional interpolation, in order to solve the same modeling problems, but using geometric interpolants. As can be seen from the results, in a specific case, the models obtained on the basis of the geometric theory of multidimensional interpolation most accurately reflect the nature of the process. In this regard, they are more preferable in relation to models obtained using the two-dimensional approximation. Approximation models are obtained in the form of explicit functions, and interpolation models are obtained in parametric form.