Параллельные методы и технологии декомпозиции областей

Abstract

Рассматриваются параллельные методы декомпозиции областей для решения трехмерных сеточных краевых задач, получаемых в результате конечно-лементных или конечно-объемных аппроксимаций. Данные проблемы являются «узким горлышком» среди различных этапов математического моделирования, поскольку современные требования к разрешающей способности сеточных алгоритмов приводят к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений с числом неизвестных в сотни миллионов и с очень плохой обусловленностью, что вызывает экстремальную ресурсоемкость расчетов. Описываются многопараметрические варианты алгоритмов с различной размерностью декомпозиции - одномерной, двумерной и трехмерной, с пересечением или без пересечения подобластей, при использовании величин перехлеста как оптимизирующих параметров, а также с различными видами внутренних условий сопряжения на смежных границах (Дирихле, Неймана или третьего рода). Исследуются вариационные итерационные процессы крыловского типа в пространствах следов с разными предобуславливающими подходами: операторы Пуанкаре-Стеклова, блочный метод Чиммино, альтернирующий метод Шварца аддитивного типа, а также грубо-сеточная коррекция, являющаяся в определенном смысле упрощенным вариантом алгебраического многосеточного подхода. Проводится сравнительный анализ критериев эффективности распараллеливания на многопроцессорных вычислительных системах. Parallel domain decomposition methods for solving 3-D grid boundary value problems, which are obtained by finite-element or finite-volume approximations are considered. These problems present the bottle neck between different stages of mathematical modelling, because the modern requirements to accuracy of grid algorithms provide the necessity of solving the systems of linear algebraic equations with the hundred millions of degrees of freedom and with super-high condition numbers which demand the extremal computing resourses. Multi-parameter versions of algorithms with various domain decomposition dimensions one-dimensional, two-dimensional and three-dimensional, with or without overlapping of subdomains and with different kinds of internal conjecture conditions on the adjacent boundaries (Dirichlet, Neuman and Robin). The iterative Krylov processes in the trace spaces are investigated for the different preconditioning approaches: Poincare – Steklov operators, block Cimmino method, alternating Schwartz algorithm of additive type, as well as coarse grid correction which is, in a sense, the simplified version of algebraic multigrid method. The comparative analysis of the criteria of parallelezation for the multiprocessor computer systems is made.