Фазовое пространство модифицированного уравнения Буссинеска

Abstract

В статье доказана однозначная разрешимость задачи Коши для полулинейного уравнения соболевского типа второго порядка. В работе используются идеи и техника, разработанные Свиридюком Г.А. при исследовании задачи Коши для полулинейного уравнения соболевского типа первого порядка, и Замышляевой А.А. при решении задачи Коши для линейного уравнения соболевского типа высокого порядка. В работе так же используется теория дифференцируемых банаховых многообразий, которая окончательно оформилась в работах С. Ленга. В качестве приложения приведена начально-краевая задача для модифицированного уравнения Буссинеска. Рассмотрено два случая – первый, когда оператор L при старшей производной по времени непрерывно обратим, тогда для любой точки из касательного расслоения исходного банахова пространства существует единственное решение, лежащее в этом пространстве как траектория. Особое внимание было уделено второму случаю, когда оператор L не является непрерывно обратимым, тогда уравнение Буссинеска является вырожденным, и было построено для него локальное фазовое пространство. Приводятся условия, при которых фазовое пространство данного уравнения является простым банаховым многообразием. We proved a unique solvability of the Cauchy problem for a class of semilinear Sobolev type equations of the second order. We used ideas and techniques developed by G.A. Sviridyuk for the investigation of the Cauchy problem for a class of semilinear Sobolev type equations of the first order and by A.A. Zamyshlyaeva for the investigation of the high-order linear Sobolev type equations. We also used theory of differential Banach manifolds which was finally formed in S. Leng’s works. The initial-boundary value problem for the modified Bussinesq equation was considered as application. In article we considered two cases. The first one is when an operator L at the highest time derivative is continuously invertible. In this case for any point from a tangent fibration of an original Banach space there exists a unique solution lying in this space as trajectory. Particular attention was paid to the second case, when the operator L isn’t continuously invertible and the Bussinesq equation is degenerate one. A local phase space in this case was constructed. The conditions for the phase space of the equation being a simple Banach manifolds are given.