Неклассические модели математической физики

Abstract

Неклассическими называют те модели математической физики, чьи представления в виде уравнений или систем уравнений в частных производных не укладываются в рамках одного из классических типов – эллиптического, параболического или гиперболического. В частности, к неклассическим относятся модели, описываемые уравнениями смешанного типа (например, уравнением Трикоми), вырождающимися уравнениями (например, уравнением Келдыша) или уравнениями соболевского типа (например, уравнением Баренблатта – Желтова-Кочиной). Статья содержит обзор некоторых, на наш взгляд, главных достижений А.И. Кожанова в области неклассических моделей математической физики. Основные его достижения в области линейных неклассических моделей относятся к теории уравнений составного типа, где он развил практически до совершенства метод априорных оценок и сделал максимально возможные обобщения. Кроме того, метод априорных оценок наряду с принципом сравнения А.И. Кожанов весьма эффективно применял для изучения нелинейных неклассических моделей таких как обобщенное фильтрационное уравнение Буссинеска, а также классических нелинейных моделей, в частности, моделей джозефсоновского контакта. Особое место в творчестве А.И. Кожанова занимают обратные коэффициентные задачи, где наряду с решением требуется найти еще и неизвестный коэффициент. И здесь он получил выдающиеся результаты как в линейном, так и в нелинейном случаях. Nonclassical called the models of mathematical physics, whose representation in the form of equations or systems of partial differential equations do not fit into one of the classical types – elliptic, parabolic or hyperbolic. In particular, the non-classical model are described by the equations of mixed type (eg, Tricomi equation), the degenerate equation (for example, the Keldysh equation) or the equations of Sobolev type (eg, Barenblatt –Zheltov – Kochina equation). The article provides an overview of some, in our opinion –the main A.I. Kozhanov achievements in the field of non-classical models of mathematical physics. His major achievements in the field of non-classical linear models belong to the theory of composite type equations, where he developed almost to perfection the method of a priori estimates and did the maximum possible generalization. Furthermore, the method of a priori estimates, along with the principle of comparing A.I. Kozhanov very effectively applied to the study of non-linear non-classical models such as the generalized Boussinesq filtration equation and classical nonlinear models, including models of the Josephson junction. Special place in activity of A.I. Kozhanov take the inverse problem, which, along with the decision and want to find another unknown factor. Here he received outstanding results in both linear and nonlinear cases.