Стохастические неполные линейные уравнения соболевского типа высокого порядка с аддитивным белым шумом

Abstract

Теория уравнений соболевского типа переживает эпоху своего расцвета. Большое число исследований посвящено детерминированным уравнениям и системам. Однако в натурных экспериментах возникают математические модели, содержащие случайные возмущения, например, в виде белого шума. Поэтому в последнее время все чаще появляются исследования, посвященные тохастическим дифференциальным уравнениям. В данной работе в рамках теории уравнений соболевского типа рассмотрена математическая модель Буссинеска – Лява с аддитивным белым шумом. При изучении модели полезными оказались методы и результаты теории уравнений соболевского типа с относительно p-ограниченными операторами. Поскольку модель представлена вырожденным уравнением математической физики, то к ней трудно применимы существующие ныне подходы Ито – Стратоновича – Скорохода. Мы используем уже хорошо зарекомендовавший себя при решении уравнений соболевского типа метод фазово-го пространства, заключающийся в редукции сингулярного уравнения к регулярному, определенному на некотором подпространстве исходного пространства. В первой части статьи собраны основные факты теории (L, p)-ограниченных операторов. Во второй – рассмотрена задача Коши для стохастического линейного уравнения соболевского типа высокого порядка. В качестве примера приведена математическая модель Буссинеска – Лява. Sobolev type equations theory experiences an epoch of blossoming. The majority of researches is devoted to the determined equations and systems. However in natural experiments there are the mathematical models containing accidental indignation, for example, white noise. Therefore recently even more often there arise the researches devoted to the stochastic differential equations. In the given work the Boussinesq – L`ove model with additive white noise is considered within the Sobolev type equations theory. At studying the methods and results of theory of Sobolev type equations with relatively p- bounded operators were very useful. As the model is presented by the degenerate equation of mathematical physics, so it is difficult to apply existing nowadays Ito – Stratonovich – Skorokhod approaches. We use already well proved at the investigation of Sobolev type equations the phase space method consisting in a reduction of singular equation to regular one, defined on some subspace of initial space. In the first part of article some facts of (A, p)-bounded operators are collected. In the second – the Cauchy problem for the stochastic Sobolev type equation of high order is investigated. As an example the stochastic Boussinesq – L`ove model is considered.