Обратная задача теории совместимости и функционально-инвариантные решения волнового уравнения в двумерном пространстве

Abstract

Исследуется система уравнений с, вообще говоря, переменными коэффициента- ми, описывающая функционально-инвариантные решения волнового уравнения в пространстве R3(t, x, y). Хорошо известно, что для единичной матрицы коэффициентов все функционально-инвариантные решения описываются формулой Соболева. В работе доказано, что если решение рассматриваемой системы имеет максимальный произвол (который понимается в смысле теории совместности переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных), то коэффициенты волнового уравнения связаны алгебраическим соотношением второго порядка (гиперболическим или эллиптическим) и, кроме того, дифференциальным соотношением второго порядка. На множестве дифференциальных уравнений естественно действует группа преобразований, индуцированных заменами пространственных переменных. Получена полная классификация рассматриваемых систем относительно этой группы. Доказано, что есть ровно три класса эквивалентности. В работе используются классические методы теории Рикье исследования переопределенных систем ифференциальных уравнений в частных производных. We investigated the system of equations with variable coefficients, which describe functional-invariant solutions of wave equation in space R3(t, x, y). It is well known that in the case of identity matrix of coefficients we can describe all functional-invariant solutions by Sobolev formula. In this paper we prove that if solutions of considered systems have maximal arbitrariness (in the sense of the theory of compatibility overdetermined systems of differential equations in partial derivatives) then coefficients of the wave equation are connected by algebraic relation of the second order (hyperbolic or elliptic type) and in addition by differential relation of the second order. Group of transformations induced by change of space variables acts on the all set of differential equations naturally. We obtain complete classification of the considered systems with respect to this group. More precisely, we prove that there are exactly three classes of equivalence. In this paper we use classical methods Requier theory of investigation of overdetermined systems of differential equations in partial derivatives.