Изучение уравнений леонтьевского типа с белым шумом методами производных в среднем случайных процессов

Abstract

Уравнение леонтьевского типа с белым шумом мы понимаем как выражение L ˙(t) = M (t)+w˙ (t), где L – вырожденная матрица n×n, M – невырожденная матрица n × n, (t) – искомый случайный процесс и w˙ (t) – белый шум. Поскольку производная ˙(t) и белый шум корректно определены только в терминах обобщенных функций, прямое исследование подобного уравнения весьма сложно. Мы привлекаем к исследованию два приема: сначала мы переходим к стохастическому дифференциальному уравнению L (t) = M R t0 (s)ds+w(t), где w(t) – винеровский процесс, и затем используем для описания решений этого уравнения так называемые производные в среднем от случайных процессов по Нельсону, которые вводятся без привлечения обобщенных функций. Этим способом получены формулы для решений уравнений леонтьевского типа с белым шумом. We understand the Leontieff type equation with white noise as the expression of the form L ˙(t) = M (t) + w˙ (t) where L is a degenerate matrix n × n, M is a non-degenerate matrix n×n, (t) is a stochastic process we are looking for and w˙ (t) is the white noise. Since the derivative ˙(t) and the white noise are well-posed only in terms of distributions, the direct investigation of such equations is very complicated. We involve two methods in the investigation. First, we pass to the stochastic differential equation L (t) = MR t0 (s)ds +w(t), where w(t) is Wiener process, and then for describing solutions of this equations we apply the so called Nelson mean derivatives that are introduced without using the distributions. By these methods we obtain formulae for solutions of Leotieff type equations with white noise.