Оптимизация полигармонического импульса

Abstract

В теории и практике создания некоторых технических устройств имеется неободимость оптимизации тригонометрических полиномов. В статье изложено решение задачи оптимизации тригонометрического полинома (полигармонического импульса) f(t) :=Pnk=1fk cos(kt) по коэффициенту несимметрии k := fmax|fmin|, fmax :=maxtf(t, ), fmin := mintf(t, ). Вычислены оптимальные значения главных амплитуд. В основу представленного в статье анализа положено понятие ¾минимального страта Максвелла¿, под которым подразумевается модмножество многочленов фиксированной степени с максимально возможным количеством минимумов при условии, что все минимумы расположены на одном уровне (значения многочлена во всех точ ках минимума равны между собой). Многочлен f(t) при выполнении данного условия называется максвелловским. Отправной точкой проведенного исследования послужил экспериментально найденный авторами оптимальный набор значений коэффициентов fk для произвольного n. Позже появилось доказательство единственности оптимального многочлена с максимальным количеством минимумов на отрезке [0, ] и найдена общая формула масквелловского многочлена степени n, связанная с ядром Фейера, для которого коэффициент несимметрии равен n. Возникла естественная гипотеза о том, что ядро Фейера задает оптимальный многочлен. В настоящей статье дано обоснование справедливости этой гипотезы. In theory and practice of building some technical devices, it is necessary to optimize trigonometric polynomials. In this article, we provide optimization of a trigonometric polynomial (polyharmonic impulse) f(t) :=Pnk=1 fk cos(kt) with the asymmetry coefficient k := fmax|fmin|, fmax := maxtf(t, ), fmin := min tf(t, ). We have calculated optimal values of main amplitudes. The basis of the analysis represented in the article is the idea of the “minimal Maxwell stratum” by which we understand the subset of polynomials of a fixed degree with maximal possible number of minima under condition that all these minima are located at the same level. Polynomial f(t) is then called maxwellian. The starting point of the present study was an experimentally obtained optimal set of coefficients fk for arbitrary n. Later, we proved uniqueness of the optimal polynomial with maximal number of minima on interval [0, ] and derived general formula of a maxwellian polynomial of degree n, which was related to Fejer kernel with the asymmetry coefficient n. Thus, a natural hypothesis arose that Fejer kernel should define the optimal polynomial. The present paper provides justification of this hypothesis.