Об измерении ≪белого шума≫

Abstract

В рамках теории уравнений леонтьевского типа рассмотрена математическая модель измерительного устройства, демонстрирующая эффект механической инерционности. При изучении модели с детерминированным внешним сигналом очень полезными оказались методы и результаты теории уравнений соболевского типа и вырожденных групп операторов, поскольку они позволили создать эффективный вычислительный алгоритм. Теперь в модели предполагается наряду с детерминированным сигналом наличие белого шума. Поскольку модель представлена вырожденной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, то к ней трудно применимы существующие ныне подходы Ито – Стратоновича – Скорохода и Мельниковой – Филинкова –Альшанского, в которых белый шум понимается как обобщенная производная винеровского процесса. Вместо этого предлагается новая концепция ≪белого шума≫, равного симметрической производной в среднем (в статье – производной Нельсона – Гликлиха) винеровского процесса, причем подмечено, что в рамках теории Эйнштейна – Смолуховского данная производная совпадает с ≪обычной≫ производной броуновского движения. В первой части статьи собраны основные факты теории производной Нельсона – Гликлиха, адаптированные к рассматриваемой ситуации. Во второй – рассмотрена ослабленная задача Шоуолтера – Сидорова и даны точные формулы ее решения. В качестве примера приведена конкретная модель измерительного устройства. In the framework of the Leontieff type equations theory we consider the mathematical model of the measuring transducer, demonstrating the mechanical lag effect. In studying of the model with deterministic external signal the methods and results of the Sobolev type equations theory and degenerate groups of operators are very useful, because they helped to create an efficient computational algorithm. Now, the model assumes a presence of white noise along with the deterministic signal. Since the model is represented by a degenerate system of ordinary differential equations, it is difficult to apply existing nowadays approaches such as Ito – Stratonovich – Skorohod and Melnikova – Filinkov – Alshansky in which the white noise is understood as a generalized derivative of the Wiener process. Instead of it, we propose a new concept of the ≪white noise≫, which is equal to the symmetric mean derivative (in the paper – the derivative of the Nelson – Gliklikh) of the Wiener process, and in the framework of the Einstein – Smoluchowsky coincides with the ≪ordinary≫ derivative of Brownian motion. The first part of the paper contains the basic facts of the Nelson – Gliklikh derivative theory adapted to this situation. The second part deals with the weakened Showalter – Sidorov problem and gives exact formulas for its solution. As an example, we present a concrete model of a measuring transducer.