Неклассические уравнения математической физики. Фазовые пространства полулинейных уравнений соболевского типа

Abstract

Статья имеет обзорный характер и содержит результаты с описанием морфологии фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа. В первых трех параграфах приведены конкретные краевые задачи для уравнений и систем уравнений в частных производных соболевского типа, у которых фазовые пространства – простые гладкие банаховы многообразия. В последнем параграфе собраны те математические модели, чьи фазовые пространства лежат на гладких банаховых многообразиях с особенностями. Цель данной статьи – формирование фундамента будущих исследований морфологии фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа. Кроме того, в статье дается объяснение феномена несуществования решения задачи Коши и феномена неединственности решения задачи Шоуолтера–Сидорова для полулинейных уравнений соболевского типа. The article surveys the results concerning the morphology of phase spaces for semilinear Sobolev type equations. The first three paragraphs present specific boundary value problems for Sobolev type partial differential equations whose phase spaces are simple smooth Banach manifolds. The last section contains the mathematical models whose phase spaces lie on a smooth Banach manifolds with singularities. The purpose of this article is the formation of a basis for future studies of the morphology of phase spaces for semilinear Sobolev type equations. In addition, the article provides an explanation of the phenomenon of nonexistence of solutions to the Cauchy problem and the phenomenon of nonuniqueness of solutions to the Showalter–Sidorov problem for the semilinear Sobolev type equations.