Быстрое решение модельной задачи для уравнения Пуассона

Abstract

Рассматривается уравнение Пуассона в прямоугольной области при смешанных краевых условиях. Его численное решение с помощью итерационных факторизаций и фиктивного продолжения сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений с треугольными матрицами, в которых количество ненулевых элементов в каждой строке не более трех. При достаточно малой погрешности аппроксимации решаемой задачи задаваемая относительная погрешность численного метода достигается за несколько итераций. Предлагаемый итерационный метод является почти прямым методом, асимптотически оптимальным по количеству арифметических операций. Разработан итерационный метод для указанной модельной задачи. Эта задача получается в методах фиктивных компонент при решении краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков в плоских областях. Предложен алгоритм для реализации численного метода с автоматическим выбором итерационных параметров на основе метода скорейшего спуска. Задан критерий остановки итерационного процесса, при достижении заранее задаваемой относительной погрешности решения. Приводятся графические результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие асимптотическую оптимальность метода по вычислительным затратам. Построение метода основывается на использовании комплексного анализа. Poisson's equation in rectangular area under the mixed regional conditions is considered. Its numerical solution by means of iterative factorizations and fictitious continuation amounts to the solution of the systems of linear algebraic equations with triangular matrixes, in which the quantity of nonzero elements in every line is less than three. At rather insignificant error of approximation of the problem under consideration the set relative error of a numerical method is reached by some iterations. The given iterative method is almost a direct method, asymptotically optimum by the number of arithmetic operations. The iterative method is developed for the specified model problem. This problem turns out to be in the methods of fictitious components at the solution of boundary problems for elliptic differential equations of the second and fourth orders in flat areas. The algorithm for realization of a numerical method with an automatic choice of iterative parameters on the basis of a method of the fastest descent is offered. The criterion to stop an iterative process is set at the achievement of the set relative error of the solution. The graphic results of computing experiments confirming an asymptotic optimality of the method on computing expenses are given. The developing of the method is based on the use of the complex analysis.