Вариационный метод решения коэффициентной обратной задачи для эллиптического уравнения

Abstract

Одним из основных типов обратных задач для уравнений с частными производными являются задачи, в которых подлежат определению коэффициенты уравнений или величин, входящих в них, по некоторой дополнительной информации. Такие задачи называют коэффициентными обратными задачами для уравнений с частными производными. Обратные задачи для уравнений с частными производными могут быть поставлены в вариационной форме, т. е. как задачи оптимального управления соответствующими системами. Рассматривается вариационная постановка одной коэффициентной обратной задачи для двумерного эллиптического уравнения с дополнительным интегральным условием. При этом управляющая функция входит в коэффициент при решении уравнения состояния и является элементом пространства квадратично суммируемых по Лебегу функций. Целевой функционал составлен на основе дополнительного интегрального условия. Граничные условия для уравнения состояния являются смешанными, т. е. в одной части границы задано второе краевое условие, а в другой части первое краевое условие. Под решением краевой задачи при каждом фиксированном управляющем коэффициенте понимается обобщенное решение из пространства Соболева. Исследованы вопросы корректности рассматриваемой коэффициентной обратной задачи в вариационной постановки. Доказано, что рассматриваемая задача корректно поставлена в слабой топологии пространства управляющих функций, т. е. множество оптимальных управлений не пусто, слабо компактно и любая минимизирующая последовательность задачи слабо сходится к множеству оптимальных управлений. Кроме того, доказана дифференцируемость по Фреше целевого функционала и найдена формула для его градиента. Установлено необходимое условие оптимальности в виде вариационного неравенства. One of the main types of inverse problems for equations with partial derivatives are the problems in which coefficients of equations or included values have to be determined based on some additional information. Such problems are called coefficient inverse problems for equations with partial derivatives. Inverse problems for equations with partial derivatives can be set in a variational form, i. e. like problems of optimal control by corresponding systems. Variational setting of one coefficient inverse problem for a two-dimensional elliptic equation with additional integral condition is considered. At that, the control function gets included in the coefficient when solving the equation of state, and is an element of a space of quadric totalized functions in the sense of Lebeg. Objective functional is set on the basis of an additional integral condition. Boundary conditions for equation of the state are mixed, i.e. the second boundary condition is given in one part of the boundary, and the first boundary condition is given in another part. Solving the boundary problem at each fixed control coefficient intends a generalized solution from the Sobolev space. The questions of correctness of the considered coefficient inverse problem in variational setting are studied. It is proved that the considered problem is correctly set in the weak topology of control functions’ space. I. e. the multitude of optimal controls is nonvacuous and weakly compact; and any minimizing sequence of the problem weakly converges to the multitude of optimal controls. Besides, differentiability of objective functional in the sense of Frechet is proved, and a formula for its gradient is obtained. The necessary optimum condition in the form of variational inequality is determined.