Задача стартового управления и финального наблюдения для системы уравнений Фитц Хью–Нагумо с условием Дирихле–Шоуолтера–Сидорова

Abstract

Исследуется стартовое управление и финальное наблюдение решениями задачи Дирихле–Шоуолтера–Сидорова для вырожденной системы уравнений Фитц Хью–Нагумо. Эта система относится к классу уравнений реакции-диффузии и описывает распространения волн в активных биологических средах, таких как сердечная мышца или мозговая ткань. Система уравнений Фитц Хью–Нагумо является, с одной стороны, развитием известной модели Колмогорова–Петровского–Пискунова, а с другой стороны – упрощением модели Ходжинса–Хаксли. При построении математической модели учитывая, что скорость одной искомой функции системы уравнений Фитц Хью–Нагумо значительно превышает скорость другой, было предложено исследовать вырожденный случай. Изучаемая задача стартового управления и финального наблюдения моделирует ситуацию, когда после кратковременного управляющего воздействие ожидается требуемый результат за некоторый период времени, т. е. в начальный момент времени посылается импульс большой мощности в систему нервов и ожидается требуемое состояние системы через некоторое установленное время. На основе методов Галеркина и компактности доказана теорема существования задачи стартового управления и финального наблюдения в слабом обобщенном случае. The paper discusses the start control and the final observation of solutions of the Dirichlet– Showalter–Sidorov problem for the degenerate Fitz Hugh–Nagumo system of equations. This system refers to the class of reaction-diffusion equations and describes the propagation of waves in active biological media, such as the heart muscle, or brain tissue. On the one hand, the Fitz Hugh–Nagumo system of equations is the development of more familiar model of Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov, and on the other hand, the simplification of the Hodgins–Huxley model. When constructing a mathematical model taking into account that the speed of one desired function of the Fitz Hugh–Nagumo system of equations significantly exceeds the speed of the other, it has been suggested to investigate the degenerate case. The studied task of the start control and final observation simulates the situation when, after a short-time control action, the expected result for a certain period of time, i.e. at the initial moment of time sends a high-power pulse is sent to a nerve system and the required state of the system is expected after a certain set time. On the basis of Galerkin's methods and compactness, the existence theorem of the problem of starting control and final observation in a weak generalized case is proved.