Седиментация малоконцентрированной полидисперсной взвеси стоксовских частиц в плоском слое

Abstract

На основе диффузионно-кинетического подхода выполнен аналитический анализ осаждения малоконцентрированной полидисперсной взвеси стоксовских частиц в плоском слое покоящейся дисперсионной фазы (вязкая несжимаемая жидкость). При отсутствии перемешивания математическая модель для монодисперсных частиц, обобщенная на полидисперсный случай с использованием принципа суперпозиции концентрационных полей, представлена в виде начально-краевой задачи для дифференциального уравнения первого порядка в частных производных относительно функции плотности распределения частиц по размерам, решение которой записано аналитическим соотношением с помощью обобщенной функции Хэвисайда. Получены расчетные выражения для локальной счетной функции плотности распределения частиц в пространстве размеров, массовой концентрации в объеме и роста осадка, инвариантных физико-химическим свойствам гетерогенной системы. Показано, что найденное обобщенное решение может быть применено для дисперсного анализа взвеси как альтернативная методика седиментометрическому анализу, если известна эмпирическая относительная седиментационная кривая. Если исходная счетная функция плотности распределения частиц по размерам относится к экспоненциальному типу, то из безусловной задачи минимизации легко может быть вычислен среднечисленный размер частиц взвеси. Данный подход может быть обобщен на случай грубодисперсных взвесей, скорость осаждения которых не подчиняется закону Стокса, а также для произвольных исходных счетных функций плотности распределения частиц взвеси по размеру. В этом случае для нахождения функции плотности частиц по размеру применяется целевая функция, записанная в виде функционала, и задача его минимизации приводит с некоторой степенью приближения к искомой экспериментальной счетной функции плотности распределения частиц по размерам. On the basis of the diffusion-kinetic approach, an analytical analysis of the precipitation of a lowconcentration polydisperse suspension of Stokes particles in a flat layer of a stationary dispersive phase (viscous incompressible liquid) is performed. In the absence of mixing, the mathematical model for monodisperse particles, generalized to a polydisperse case using the principle of superposition of concentration fields, is presented in the form of an initial-boundary value problem for a first-order partial differential equation with respect to the particle size distribution function in dimensions, the solution of which is written in the analytic relation with the help of the generalized Heaviside function. The calculated expressions are obtained for the local counting function of the density of the particle distribution in the space of dimensions, mass concentration in the volume, and growth of the sediment, which are invariant to the physicochemical properties of the heterogeneous system. It is shown that the generalized solution found can be applied to the dispersion analysis of suspended matter as an alternative technique to sedimentometric analysis if the empirical relative sedimentation curve is known. If the initial counting function of the particle size distribution density refers to the exponential type, then the average number particle size of the suspension can easily be calculated from the unconditional minimization problem. This approach can be generalized to the case of coarse suspended solids, the rate of deposition of which does not obey the Stokes law, and also for arbitrary initial counting functions of the particle size distribution of the slurry in size. In this case, to find the particle density function with respect to size, we use the objective function written in the form of a functional and the minimization problem leads to a certain degree of approximation to the required experimental countable density distribution function for particles.