Аннотации:
An inverse problem of recovering the minor time-dependent coefficient in a
parabolic equation of the second order is considered. The unknown coefficient is
the controlling parameter. The inverse problem lies in finding the solution of an
initial-boundary value problem for this parabolic equation and this timedependent
coefficient using data of the initial-boundary value problem and point
conditions of overdetermination. Cases of the Dirichlet boundary conditions and
oblique derivative conditions are considered. Conditions under which the theorem
of existence and solution uniqueness is applicable for the given inverse problem
is described; the numerical solution method is described, and its justification
is given. All the considerations are carried out in Sobolev spaces. Solution of the
direct problem is based on the finite element method and the finite difference method.
The proposed algorithm for the numerical solution consists of three stages:
initialization of the massive that describes geometry of the area and the boundary
vector; implementation of integrative calculation of the desired coefficient using
the finite element method; implementation of the finite difference method. Results
of numerical experiments are presented, and numerical solution of the model
inverse problem is constructed in the case of Neumann boundary conditions;
dependency of an error in calculation of the controlling parameter on the
variation of the equation coefficients and the noise level of the overdetermination
data for domains with different number of nodes that depend on an observation
point is described. Results of the calculations show a good convergence of the
method. In the case when introduced noise level is 10 %, the error between the
desired and the obtained solution increases from 8 to 35 times, though the graph
of recovered coefficient remains close to the solution graph and repeats its outlines. Рассматривается обратная задача восстановления младшего коэффициента, зависящего от
времени, в параболическом уравнении второго порядка. Неизвестный коэффициент является
управляющим параметром. Обратная задача состоит в нахождении решения начально-краевой
задачи для этого параболического уравнения и этого коэффициента зависящего от времени с
использованием данных начально-краевой задачи и точечных условий переопределения.
Рассмотрены случаи краевых условий Дирихле и условий с косой производной. Описаны
условия, при выполнении которых имеет место теорема существования и единственности
решений данной обратной задачи, описан метод численного решения и приведено его
обоснование. Все рассмотрения проводятся в пространствах Соболева. Решение прямой задачи
основано на методе конечных элементов и методе конечных разностей. Предложенный алгоритм
численного решения состоит из трех этапов: инициализации массива, описывающего геометрию
области и граничного вектора; реализации итерационного расчета искомого коэффициента c
использованием метода конечных элементов; реализация метода конечных разностей.
Представлены результаты численных экспериментов, построено численное решение модельной
обратной задачи в случае краевых условий Неймана, описана зависимость ошибки вычисления
управляющего параметра от изменения коэффициентов уравнения и уровня зашумленности
данных переопределения для областей с различным количеством узлов, зависящих от
расположения точки наблюдения. Результаты вычислений показывают хорошую сходимость
метода. В случае введения 10 % случайного шума погрешность между искомым решением и
найденным увеличивается от 8 до 35 раз, но график восстановленного коэффициента остается
близким к графику решения и повторяет его контуры.
Описание:
E.I. Safonov
Ugra State University, Khanty-Mansyisk, Russian Federation
E-mail: dc.gerz.hd@gmail.com. Е.И. Сафонов
Югорский государственный университет, г. Ханты-Мансийск, Российская Федерация
E-mail: dc.gerz.hd@gmail.com