Метод негладких интегральных направляющих функций в задаче о существовании периодических решений включений с каузальными операторами

Abstract

Как известно, дифференциальные включения являются очень удобным математическим аппаратом, моделирующим нелинейные управляемые системы с обратной связью, системы автоматического регулирования, системы с разрывными и импульсными характеристиками и другие объекты современной инженерии, механики, физики. В настоящей работе предлагаются новые методы решения задачи о периодических колебаниях управляемых объектов, описываемых дифференциальным включением с каузальным оператором. Впервые дифференциальные уравнения с каузальным оператором, или уравнения типа Вольтерра, были рассмотрены Л. Тонелли и А.Н. Тихоновым. А.Н. Тихонов использовал их в качестве модели при изучении ряда задач теплопроводности, в частности, задачи об остывании тела при лучеиспускании с поверхности. В первой части работы предполагается, что правая часть включения является многозначным отображением, имеющим выпуклые замкнутые значения. Далее предполагается, что правая часть включения невыпуклозначна и полунепрерывна снизу. В силу специфики рассматриваемого объекта в качестве основного инструмента исследования рассматриваемой задачи в обоих случаях используется модифицированный метод классической направляющей функции. А именно, метод негладкой интегральной направляющей функции. Применение теории топологической степени и указанного метода позволяет установить разрешимость периодической задачи в каждом из рассматриваемых случаев. As it is known, differential inclusions are very useful mathematical tools to describe nonlinear control systems with feedback, automatic control systems, discontinuous systems, impulse response and other objects of modern engineering, mechanics, physics. In the present paper the new method to solving the problem of periodic oscillations of controlled systems described by a differential inclusion with a causal multioperator is introduced. Firstly differential equations with causal operator, or Volterra type equations where considered by L. Tonelli and A.N. Tikhonov. A.N. Tikhonov used them as the model in study of some thermal conductivity problems, in particular the problem of body coding when there is radiation from its surface. At first we consider the case when the multioperator is closed and convex-valued. Then the case of a non-con vex-valued and lower semieontinu-ous right-hand part is considered. As the main research tool of the problem in both cases a modified method of the classical guiding function is applied. Namely, the method of nonsmooth integral guiding function is considered. Application of topological degree theory and this method allows to establish the solvability of periodic problem in each of the cases.