Asymptotic estimate of a Petrov - Galerkin method for nonlinear operator-differential equation

Abstract

In the current paper, we study a Petrov - Galerkin method for a Cauchy problem for an operator-differential equation with a monotone operator in a separable Hilbert space. The existence and the uniqueness of a strong solution of the Cauchy problem are proved. New asymptotic estimates for the convergence rate of approximate solutions are obtained in uniform topology. The minimal requirements to the operators of the equation were demanded, which guaranteed the convergence of the approximate solutions. There were no assumptions of the structure of the operators. Therefore, the method, specified in this paper, can be applied to a wide class of the parabolic equations as well as to the integral- differential equations. The initial boundary value problem for nonlinear parabolic equations of the fourth order on space variables was considered as the application. В работе исследуется метод Петрова - Галеркина для задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения с монотонным оператором в сепарабельном гильбертовом пространстве. Доказано существование и единственность сильного решения исследуемой задачи. Получены новые асимптотические оценки скорости сходимости построенных приближенных решений к точному решению в равномерной топологии. На операторы уравнения накладываются минимальные требования, необходимые для сходимости построенных приближенных решений. Отсутствуют какие-либо предположения о структуре операторов. Таким образом, метод исследуемый в данной работе, может быть применен к широкому классу параболических уравнений, а также, интегро-дифференциальных уравнений. В качестве приложения, исследуемый в работе метод, применяется к модельному параболическому уравнению четвертого порядка по пространственным переменным.