On one mathematical model described by boundary value problem for the biharmonic equation

Abstract

In this paper mathematical model described by a generalized third boundary value problem for the homogeneous biharmonic equation in the unit ball with boundary operators up to the third order containing normal derivatives and Laplacian is investigated. Particular cases of the considered mathematical model are the classical models described by Dirichlet, Riquier, and Robin problems, and the Steklov spectral problem, as well as many other mathematical models generated by these boundary conditions. Two existence theorems for the solution of the problem are proved. Existence conditions are obtained in the form of orthogonality on the boundary of some linear combination of boundary functions to homogeneous harmonic polynomials of a particular order. The obtained results are illustrated by some special cases of the general problem. В данной работе рассматривается математическая модель, описываемая обобщенной третьей краевой задачи для однородного бигармонического уравнения в шаре с граничными операторами до третьего порядка, содержащие нормальные производные и лапласиан. Частными случаями рассматриваемой математической модели являются классические модели, описываемые задачами Дирихле, Рикье и Робина, спектральная задача Стеклова, а также многие другие математические модели, порожденные этими граничными условиями. Доказаны две теоремы существования рассматриваемой задачи. Условия существования получены в виде ортогональности на границе некоторой линейной комбинации граничных функций однородным гармоническим многочленам заданного порядка. Полученные результаты проиллюстрированы некоторыми частными случаями общей задачи.